Стеллажи, телефон (495) 642 02 91
Проектирование, продажа, монтаж лестниц и стеллажей. Стеллажи из различных материалов, простой конструкции и функционального дизайна, обеспечивающее безопасность хранения и удобство доступа.

Стеллажи всех видов

 

Распределенная нагрузка на балку формула


Расчет балки на действие равномерно распределенной нагрузки

Дано:

1. Однопролетная балка постоянного по длине сечения на двух шарнирных опорах А и В, без консолей, длиной l = 4.6 м. Балка расположена горизонтально.

2. Равномерно распределенная нагрузка q = 3.2 кН приложена перпендикулярно к нейтральной оси балки по всей длине балки.

Вот собственно и все, что следует знать на первом этапе расчета - определении максимальных напряжений в поперечном сечении балки. И да, длина балки может измеряться кроме метров в сантиметрах, миллиметрах, дюймах, футах и т.д. Нагрузка может также  обозначаться другими литерами, измеряться в килограммах, грамах, тоннах пудах, фунтах и т.д. - принципиального значения это не имеет и на методику расчета никак не влияет.

Если теоретические основы расчета вас не интересуют, а вы просто хотите рассчитать свою балку, то можете воспользоваться калькулятором для данной расчетной схемы (в части определения требуемых параметров сечения этот калькулятор только для деревянных балок, со временем будет и для стальных, а может и для железобетонных).

Далее возможны 2 варианта расчета:

1. Упрощенный, по готовым формулам, которые приводятся буквально в каждом справочнике по сопромату. Для человека, занимающегося частным строительством и желающего просчитать ту или иную балку, такой расчет, самое то.

2. Классический, основанный на уравнениях равновесия системы и методе начальных параметров. Такой расчет чаще всего требуется от студентов. Но и людям, желающим узнать, откуда взялись те или иные формулы, пример такого расчета также будет полезен.

Рассмотрим эти варианты более подробно.

1. Упрощенный расчет (по готовым формулам)

Расчет производится по формулам расчетной схемы 2.1 для шарнирной балки.

1.1 Определение опорных реакций:

А = B = ql/2 = 3.2·4.6/2 = 7.36 кН (671.1)

Соответственно максимальная поперечная сила, действующая в поперечных сечениях балки будет "Q" = 7.36 кН. Действовать эта поперечная сила будет на опорах балки

1.2. Определение максимального изгибающего момента:

Максимальный изгибающий момент будет действовать посредине пролета балки и он составит:

М = ql2/8 = 3.2·4.62/8 = 8,464 кНм (671.2)

1.3. Подбор сечения балки:

3.1 Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:

Wтр = M/R = 8.464/13000 = 0.000651077 м3 (651.077 см3) (671.3.1)

Как правило поперечные сечения деревянных балок имеют прямоугольную форму. Момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по следующей формуле:

W = bh2/6 (671.3.2)

Дальше возможны различные варианты, например при высоте сечения балки h = 20 см требуемая ширина сечения составит не менее:

b = 6W/h2 = 6·651.77/202 = 9.77 см (671.3.3)

По сортаменту таким требованиям удовлетворяет балка с сечением 20х10 см.

Если поперечное сечение деревянной балки имеет форму, отличную от прямоугольной или квадратной, то для определения момента сопротивления можно воспользоваться одной из следующих формул, а при особо сложной форме сечения сначала определить момент инерции, а потом уже момент сопротивления.

3.2 Для стальной балки с расчетным сопротивлением R = 245 Мпа (245000) кПа) требуемый момент сопротивления составляет:

Wтр = M/R = 8.464/245000 = 3.45·10-5 м3 (34.5 см3) (658.3.7)

Далее требуемое сечение подбирается по одному из сортаментов.

Ну а подбор сечения ж/б балки - это отдельная большая тема.

1.4. Проверка по касательным напряжениям (для деревянной балки):

Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон (для древесины второго сорта) Rск = 1.6 МПа.

Для прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения определяются по следующей формуле:

т = 1.5"Q"/bh = 1.5·7.36/(0.1·0.2) = 552 кПа (0.552 МПа) < 1.6 МПа (671.4)

Требование по касательным напряжениям соблюдено.

Для сечений другой формы значение касательных напряжений определяется по формуле Журавского.

Стандартные стальные профили в дополнительной проверке по касательным напряжениям как правило не нуждаются.

1.5. Определение прогиба:

Для деревянной балки сечением 20х10 см момент инерции составит:

I = Wh/2 = 666.66·20/2 = 6666.6 см4 (0.00006666 м4) (671.5.1)

Модуль упругости древесины составляет Е = 1·104 МПа (107 кПа)

f = 5Ql4/(384EI) = 0.02798 м (2.798 см) (671.5.2)

В данном случае прогиб составляет 1/164 от длины пролета балки.

Вот собственно и весь упрощенный расчет.

2. Классический расчет

Ну а теперь перейдем к классическому расчету. Но сразу скажу, от упрощенного он отличается только первыми двумя пунктами - определением опорных реакций и максимальных напряжений, принципы подбора сечения такие же, как и изложенные выше. Ну и добавится определение начального и конечного углов поворота, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, углов поворота и прогиба, куда ж без этого в классическом-то расчете.

2.1. Определение опорных реакций

Для определения опорной реакции А воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки В):

ΣМВ = Al - ql2/2 = 0 (671.6.1)

тогда

Аl = ql2/2; (671.6.2)

A = ql2/2l = 4.6·3.2/2 = 7.36 кН (671.1)

Для определения опорной реакции В  также воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки А):

ΣМА = Вl - ql2/2 = 0 (671.6.3)

тогда

Вl = ql2/2; (671.6.4)

В = ql2/2= 4.6·3.2/2 = 7.36 кН (671.1.2)

Для проверки воспользуемся вторым уравнением статического равновесия системы:

у = ql - А - В = 0 (671.6.5)

4.6·3.2 - 7.36 - 7.36 = 0 (671.6.6)

Условие выполняется.

В точке А поперечные силы условно равны нулю.

Уравнение поперечных сил  будет иметь следующий вид:

"Q" = А - qx (671.6.7)

где х - расстояние от начала координат (точки А) до рассматриваемого сечения балки.

Соответственно на расстоянии 0 м от точки А поперечные силы будут равны:

"Q"А = 7.36 - 3.2·0 = 7.36 кН (671.6.8)

в точке В:

"Q" = А - ql + В = 7.36 - 3.2·4.6 + 7.36 = 0 (671.6.9)

Этих данных достаточно для построения эпюр поперечных сил.

2.2. Определение изгибающих моментов:

Для определения изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки, используется метод сечений, согласно которому уравнение моментов будет иметь следующий вид:

М = Ах - qx2/2 (671.7.1)

тогда

МА = А·0 - q02/2 = 0 (671.7.2)

в середине пролета:

М = Аl/2 -q(l/2)2/2 = 8.464 кНм (671.2.1)

в точке В (в конце балки):

М = Al - ql2/2 = ql·l/2 - ql2/2 = 0 (671.7.3)

Примечание: эпюра изгибающих моментов - квадратная парабола. Если есть необходимость определить значение изгибающего момента для любого другого поперечного сечения, то для этого нужно воспользоваться формулой (671.7.1). Но как правило в таких простых случаях загружения в этом нет необходимости. Опять же варианты использования балок переменного сечения, когда требуется знать различные значения моментов, здесь не рассматриваются.

2.3 Определение углов поворота и прогибов поперечного сечения.

Уравнение углов поворота - результат интегрирования уравнения моментов. А как известно, при интегрировании появляется постоянная интегрирования, в данном случае начальный угол поворота ΘА, который в данном случае не равен нулю. Кроме того на значение углов поворота и прогибов влияет жесткость рассматриваемой балки, выражаемая через ЕI, т.е. чем больше жесткость балки (модуль упругости и момент инерции) тем меньше в итоге углы поворота и прогибы.

Уравнение углов поворота для нашей балки будет выглядеть так:

θx = ∫Mdx/EI = - ΘА + Ax2/2EI - qx3/6EI (671.8.1)

Уравнение прогибов - это в свою очередь результат интегрирования уравнения углов поворота на рассматриваемом участке:

fх = ∫ΘАdx = - θAx + Ax3/6EI- qx4/24EI (671.8.2)

Как видим, в данном случае постоянная интегрирования - начальный прогиб - равна нулю и это логично - на опорах прогиба быть не может (во всяком случае в теории). Это позволяет составить дополнительное уравнение прогиба для одной из опор, например для точки В уравнение прогиба будет иметь вид:

fВ = - θAl + Al3/6EI - ql4/24EI = 0 (671.8.3)

тогда

θAl = Al3/6EI - ql4/24EI (671.8.4)

θA = ql3/(2·6EI) - ql4/(l·24EI) (671.8.5)

θA = ql3/24EI = 12.978/EI (671.8.6)

Так как у нас симметричны и балка и нагрузка, что мы уже заметили раньше, то конечный угол поворота поперечного сечения (на опоре В) будет равен начальному углу поворота.

Проверяем правильность вычислений:

θB = - ΘА + Al2/2EI - ql3/6EI = (-12.978 + 77.8688 - 51.9125)/EI = 12.977/EI (671.8.7)

Надеюсь разница в третьем знаке после запятой в значениях начального и конечного угла поворота не будет вас сильно пугать, хотя подобные вопросы иногда возникают. Сразу скажу, тут дело только в калькуляторе - чем более точный результат вы хотите получить, тем больше знаков после запятой следует него забивать.

Так как у нас симметричные и балка и нагрузка, то нет необходимости определять точку, где прогиб максимальный. Это сечение будет посредине балки. Впрочем есть формула (671.8.3) и с помощью ее можно определить прогиб в любом рассматриваемом сечении, но нас в данном случае интересует только максимальный прогиб:

fmax = - θВ2.3 + В·2.33/6EI - q2.34/24EI = - 18.6561/ЕI (671.8.8)

Ну или:

fmax = - θА2.3 + А·2.33/6EI - q2.34/24EI = - 18.6561/ЕI (671.8.9)

Чтобы эпюры углов поворота и прогибов были универсальными и подходили и для деревянных и для стальных и для железобетонных и для каких угодно других балок, на эпюрах показываются не абсолютные значения, а относительные. Т.е. обе части уравнения умножаются на ЕI.

2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

На основании полученных ранее данных строим эпюры:

 

Рисунок 671.1. Расчетная схема (а), замена опор на реактивные силы (б), эпюра поперечных сил (в), эпюра изгибающих моментов (г), эпюра углов поворота (д), эпюра прогибов (е).

На эпюре поперечных сил в начале координат (в точке А) откладываем вверх значение опорной реакции А, согласно направлению действия реактивной силы (опорной реакции. В точке В откладываем значение опорной реакции вниз. Соединяем полученные точки прямой.

Тут может возникнуть вопрос: а почему на опоре В мы откладываем значение вниз, когда значение опорной реакции у нас положительное? Отвечаю: дело в том, что мы не просто рисуем картинку, а вообще то строим график функции, описываемой уравнением (671.6.7) и согласно этому уравнению в сечении максимально близком к опоре В (х→l) значение этого уравнения будет:

"Q"х→l = Аl - ql = - 7.36 кН (671.9)

А в точке В, где приложена реактивная сила (опорная реакция В) на эпюре происходит скачок (как впрочем и в точке А) т.е. формально мы все-таки откладываем опорную реакцию вверх и таким образом все, как положено.

Так как у нас балка на шарнирных опорах, на которую действует только равномерно распределенная нагрузка, то значения моментов на опорах равны нулю, что мы и определили ранее. На эпюре моментов  посредине пролета (на расстоянии 2.3 м от начала координат) откладываем вниз значение максимального момента. Соединяем эти точки кривой линией, как показано на рисунке. В общем-то как уже говорилось, эта кривая линия - квадратичная парабола и формально для ее построения можно определить сколь угодно много значений моментов для различных сечений. Но как правило необходимости в этом нет: никакой, даже очень придирчивый преподаватель не сможет отличить квадратичную параболу от кубической, особенно если вы большими способностями в рисовании не отличаетесь.

Примечание: откладывать значение момента можно и вверх, как это принято у конструкторов машин и механизмов, принципиального значения это не имеет. Просто у строителей принято строить эпюры моментов на растянутой стороне сечения.

На эпюре углов поворота в точке А откладываем значение начального угла поворота, в точке В - значение конечного угла поворота. Соединяем эти точки кубической параболой так, чтобы она проходила через середину пролета.

На эпюре углов поворота откладываем значение максимального прогиба на расстоянии 2.3 м от начала координат (середина пролета). Проводим параболу четвертой степени через точку А, точку максимального прогиба и точку В. Если с этим возникают проблемы, то можно вычислить значения и прогибов и углов поворота для любых других поперечных сечений балки.

Вот собственно и весь расчет.

Расчет балки на прогиб

Однопролетные балки на двух шарнирных опорах
1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть расчет
3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
4 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
5 Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на двух опорах
6 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
7 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть расчет
8 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
9 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
10 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на одной опоре (консольные)
11 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
12 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
13 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
14 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки двухпролетные
15 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть
16 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть
17 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть
18 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть
19 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула расчета

Балка – элемент в инженерии, представляющий собой стержень, который нагружают силы, действующие в направлении, перпендикулярном стержню. Деятельность инженеров зачастую включает в себя необходимость расчета прогиба балки под нагрузкой. Этой действие выполняется для того, чтобы ограничить максимальный прогиб балки.

Типы

На сегодняшний день в строительстве могут использоваться балки, изготовленные из разных материалов. Это может быть металл или дерево. Каждый конкретный случай подразумевает под собой разные балки. При этом расчет балок на прогиб может иметь некоторые отличия, которые возникают по принципу разницы в строении и используемых материалов.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

  • Соответствие прогиба и допустимых значений.
  • Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации. Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Расчет балок на прогиб. Алгоритм работы

На самом деле алгоритм, по которому делается подобный расчет, достаточно прост. В качестве примера рассмотрим несколько упрощенную схему проведения расчета, при этом опустив некоторые специфические термины и формулы. Для того чтобы произвести расчет балок на прогиб, необходимо выполнить ряд действий в определенном порядке. Алгоритм проведения расчетов следующий:

  • Составляется расчетная схема.
  • Определяются геометрические характеристики балки.
  • Вычисляется максимальную нагрузку на данный элемент.
  • В случае возникновения необходимости проверяется прочность бруса по изгибающему моменту.
  • Производится вычисление максимального прогиба.

Как видите, все действия достаточно просты и вполне выполнимы.

Составление расчетной схемы балки

Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.

Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F. Величина этой нагрузки равна весу, который будет оказывать давление на конструкцию.

Момент инерции

Геометрическая характеристика, которая получила название момент инерции, важна при проведении расчетов на прогиб балки. Формула позволяет вычислить эту величину, мы приведем ее немного ниже.

При вычислении момента инерции нужно обращать внимание на то, что размер этой характеристики зависит от того, какова ориентация элемента в пространстве. При этом наблюдается обратно пропорциональная зависимость между моментом инерции и величиной прогиба. Чем меньше значение момента инерции, тем больше будет значение прогиба и наоборот. Эту зависимость достаточно легко отследить на практике. Каждый человек знает, что доска, положенная на ребро, прогибается гораздо меньше, чем аналогичная доска, находящаяся в нормальном положении.

Подсчет момента инерции для балки с прямоугольным сечением производится по формуле:

J=b*h^3/12, где:

b – ширина сечения;

h – высота сечения балки.

Вычисления максимального уровня нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производится с учетом целого ряда факторов и показателей. Обычно при вычислении уровня нагрузки берут во внимание вес 1 погонного метра балки, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузку на перекрытие временного характера и нагрузку от перегородок на 1 квадратный метр перекрытия. Также учитывается расстояние между балками, измеренное в метрах. Для примера вычисления максимальной нагрузки на деревянную балку примем усредненные значения, согласно которым вес перекрытия составляет 60 кг/м², временная нагрузка на перекрытие равна 250 кг/м², перегородки будут весить 75 кг/м². Вес самой балки очень просто вычислить, зная ее объем и плотность. Предположим, что используется деревянная балка сечением 0,15х0,2 м. В этом случае ее вес будет составлять 18 кг/пог.м. Также для примера примем расстояние между брусьями перекрытия равным 600 мм. В этом случае нужный нам коэффициент составит 0,6.

В результате вычисления максимальной нагрузки получаем следующий результат: q=(60+250+75)*0,6+18=249 кг/м.

Когда значение получено, можно переходить к расчету максимального прогиба.

Вычисление значения максимального прогиба

Когда проводится расчет балки, формула отображает в себе все необходимые элементы. При этом стоит учитывать, что формула, используемая для расчетов, может иметь несколько иной вид, если расчет проводится для разных типов нагрузок, которые будут оказывать влияние на балку.

Сначала приведем вашему вниманию формулу, используемую для расчета максимального прогиба деревянной балки с распределенной нагрузкой.

f=- q*l^4/38 E*J.

Обратите внимание, что в данной формуле Е – это постоянная величина, которая получила название модуль упругости материала. Для древесины эта величина равна 100 000 кгс/ м².

Продолжив вычисления с нашими данными, использованными для примера, получим то, что для балки из древесины, сечение которой составляет 0,15х0,2 м, а длина равна 4 м, величина максимального прогиба при воздействии распределенной нагрузки равна 0,83 см.

Обращаем внимание, что когда производится расчет прогиба с учетом схемы с сосредоточенной нагрузкой, формула приобретает следующий вид:

f=-F*l^3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса. Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавровая балка

Обратите внимание на то, что балки из двутавра применяются несколько реже в силу их формы. Однако также не стоит забывать, что такой элемент конструкции выдерживает гораздо большие нагрузки, чем уголок или швеллер, альтернативой которых может стать двутавровая балка.

Расчет прогиба двутавровой балки стоит производить в том случае, если вы собираетесь использовать ее в качестве мощного элемента конструкции.

Также обращаем ваше внимание на то, что не для всех типов балок из двутавра можно производить расчет прогиба. В каких же случаях разрешено рассчитать прогиб двутавровой балки? Всего таких случаев 6, которые соответствуют шести типам двутавровых балок. Эти типы следующие:

  • Балка однопролетного типа с равномерно распределенной нагрузкой.
  • Консоль с жесткой заделкой на одном конце и равномерно распределенной нагрузкой.
  • Балка из одного пролета с консолью с одной стороны, к которой прикладывается равномерно распределенная нагрузка.
  • Однопролетная балка с шарнирным типом опирания с сосредоточенной силой.
  • Однопролетная шарнирно опертая балка с двумя сосредоточенными силами.
  • Консоль с жесткой заделкой и сосредоточенной силой.

Металлические балки

Расчет максимального прогиба одинаковый, будь это стальная балка или же элемент из другого материала. Главное - помнить о тех величинах, которые специфические и постоянные, как к примеру модуль упругости материала. При работе с металлическими балками, важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или же из двутавра. Прогиб металлической балки, изготовленной из стали, вычисляется с учетом, что константа Е в данном случае составляет 2·105Мпа. Все остальные элементы, вроде момента инерции, вычисляются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба для балки с двумя опорами

В качестве примера рассмотрим схему, в которой балка находится на двух опорах, а к ней прикладывается сосредоточенная сила в произвольной точке. До момента прикладывания силы балка представляла собой прямую линию, однако под воздействием силы изменила свой вид и вследствие деформации стала кривой.

Предположим, что плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки действуют на балку в этой плоскости. В этом случае фактом будет то, что кривая, полученная в результате действия силы, также будет находиться в этой плоскости. Данная кривая получила название упругой линии балки или же линии прогибов балки. Алгебраически решить упругую линию балки и рассчитать прогиб балки, формула которого будет постоянной для балок с двумя опорами, можно следующим образом.

Прогиб на расстоянии z от левой опоры балки при 0 ≤ z ≤ a

F(z)=(P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z3/a2*b)

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии z от левой опоры при а ≤ z ≤l

f(z)=(-P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z)3/a+b2), где Р – прикладываемая сила, Е – модуль упругости материала, J – осевой момент инерции.

В случае балки с двумя опорами момент инерции вычисляется следующим образом:

J=b1h13/12, где b1 и h1 – значения ширины и высоты сечения используемой балки соответственно.

Заключение

В заключение можно сделать вывод о том, что самстоятельно вычислить величину максимального прогиба балки разных типов достаточно просто. Как было показано в этой статье, главное - знать некоторые характеристики, которые зависят от материала и его геометрических характеристик, а также провести вычисления по нескольким формулам, в которых каждый параметр имеет свое объяснение и не берется из ниоткуда.

Как определить крутящий момент в балке

При расчете сборных или монолитных железобетонных балок (ригелей) всегда нужно внимательно относиться к крутящему моменту. Очень часто расчет на кручение требует увеличить сечение или армирование балки. Сечение балки при кручении эффективней увеличивать в ширину (увеличение балки по высоте дает малый эффект), оптимально при кручении уходить от прямоугольного сечения к квадратному.

В каких ситуациях в балке возникает крутящий момент?

1) Если на балку опирается перекрытие только с одной стороны – оно своим весом пытается крутить балку в сторону пролета перекрытия.

2) Если на балку опирается перекрытие с двух сторон, но пролет этих перекрытий разный – тогда нагрузка от перекрытия с большим пролетом перевешивает в свою сторону и крутит балку.

3) Если на балку опирается перекрытие равных пролетов, но нагрузки на этих перекрытиях отличаются (разное назначение помещений, наличие оборудования на перекрытии и т.п.) – тогда балка также прокручивается в сторону большей нагрузки.

4) Если вдоль балки действует вертикальная нагрузка (например, от веса перегородки), сбитая в сторону от оси балки.

Рассмотрим определение крутящего момента на примерах.

Пример 1. Монолитное балочное перекрытие. Необходимо определить крутящий момент в крайней балке. Суммарная нагрузка от веса монолитного перекрытия и всех нагрузок на нем равна: qн = 675 кг/м² (нормативная) и qр =775 кг/м² (расчетная).

Расчет ведется на 1 погонный метр балки.

В монолитном перекрытии связь перекрытия с балками жесткая. При такой схеме расчетный пролет перекрытия равен пролету плиты в свету между балками L₀ = 2,8 м, а нагрузка от плиты на балку передается в месте примыкания балки к перекрытию.

Найдем нагрузку на 1 п.м балки от половины пролета плиты 2,8/2 = 1,4 м:

Рн = 675∙1,4 = 945 кг/м;

Рр = 775∙1,4 = 1085 кг/м.

Крутящий момент в балке рассчитывается умножением вертикальной нагрузки на эксцентриситет – расстояние от оси приложения этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки. В нашем случае эксцентриситет равен половине ширины балки, т.е. 100 мм = 0,1 м.

Итак, определяем крутящий момент в балке (на 1 п.м балки):

Мн = 945∙0,1 = 94,5 кг∙м/м;

Мр = 1085∙0,1 = 108,5 кг∙м/м.

Пример 2. Сборное перекрытие опирается на балку с двух сторон. С одной стороны пролет перекрытия 6 м и есть пригруз в виде перегородки, опирающейся параллельно балке; с другой стороны пролет перекрытия 3,6 м. Нагрузка от перегородки  0,65 т/м, расстояние от оси балки до перегородки 1,5 м. Нагрузка от собственного веса перекрытия 0,3 т/м². Нагрузка на перекрытии: постоянная 0,1 т/м²; временная 0,3 т/м². Ширина балки 0,3 м. Глубина опирания плит перекрытия на балку 0,14 м.

Расчет ведется на 1 п.м балки.

Определим расчетный пролет каждого перекрытия и найдем точку приложения нагрузки от перекрытия на балку.

Плита опирается на балку на 140 мм. Нагрузка от плиты на этой площади распределена не равномерно, а по треугольнику. Максимально плита давит со стороны пролета (с края балки), а к краю плиты нагрузка сходит к нулю. Чтобы привести эту распределенную нагрузку к сосредоточенной, нужно принять ось приложения этой сосредоточенной нагрузки – в центре тяжести треугольника, на расстоянии 1/3 от края балки. У нас получается, что расстояние от края балки до сосредоточенной нагрузки 140/3 = 47 мм, а расстояние от этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки 150 – 47 = 103 мм. Расстояние между сосредоточенными нагрузками равно расчетному пролету плиты L₀, который для наших плит будет равен:

- для плиты 6 м: L₀ = 6000 – 2∙103 = 5794 мм;

- для плиты 3,6 м: L₀ = 3600 – 2∙103 = 3394 мм.

Построим эпюры поперечных сил для наших плит.

Равномерно-распределенная нагрузка на 1 погонный метр плиты равна:

- нормативная qн = 1∙(0,3 + 0,1 + 0,3) = 0,7 т/м;

- расчетная qр = 1∙(1,1∙0,3 + 1,1∙0,1 + 1,2∙0,3) = 0,8 т/м.

Сосредоточенная нагрузка от перегородки на плите Nн = 0,65 т/м (нормативная) и Nр = 1,1∙0,65 = 0,72 т/м (расчетная) находится на расстоянии 1500 мм от оси балки и на расстоянии 1500 – 103 = 1397 мм от принятой нами точки опоры плиты, через которую проходит ось передачи вертикальной нагрузки на балку.

Схема для нормативных нагрузок будет следующая (так как плиты опираются шарнирно, то каждую из них нужно посчитать по отдельной схеме):

Левая плита разбита на два участка: 1-2 и 2-3, правая плита представляет собой один участок 4-5.

В правой плите мы сразу можем найти значения поперечной силы:

Q = 0,5∙qL₀ = 0,5∙0,65∙3,394 = 1,1 т.

Построим эпюру для правой плиты:

Значение поперечной силы на опоре (в точке 4) равно искомой нагрузке, которую плита передает на балку: Р4= 1,1 т (направлена вниз).

Теперь разберемся с эпюрой для левой плиты. Так как помимо распределенной нагрузки у нас есть сосредоточенная сила, у нас будет несколько больше операций.

Для удобства расчета левой плиты заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей силой N:

N1-2 = 0.65∙4,397 = 2,86 т;

N2-3 = 0,65∙1,397 = 0,91 т.

Зная, что в шарнирно-опирающейся плите моменты на опоре равны нулю, составим уравнение равновесия, чтобы найти реакции на опоре.

ΣМ1 = 0:

2,86∙2,199 + 0,65∙4,397 + 0,91∙5,096 – R3∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R3 = -13.78/5,794 = 2,38 т.

ΣМ3 = 0:

0,91∙0,698 + 0,65∙1,397 + 2,86∙3,595 – R1∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R1 = 11,82/5,794 = 2,04 т.

Строить эпюру поперечных сил в плите для определения крутящего момента в балке нам не нужно, т.к. найденная нами реакция на опоре R3 равна максимальной поперечной силе и равна нагрузке, передаваемой плитой на балку: Р3= 2,38 т (направлена вниз).

Теперь у нас есть все исходные данные для определения крутящего момента.

Определим нормативный крутящий момент путем умножения сил на плечо. Принимаем силу, вращающую балку против часовой стрелки со знаком «+», а по часовой – со знаком "-":

Мн = 2,38∙0,103 – 1,1∙0,103 = 0,13 т∙м/м – нормативный крутящий момент, приходящийся на 1 п.м балки.

Расчетный крутящий момент находится точно так же.

Пример 3. Вдоль балки расположена перегородка, которая сбита относительно оси балки на 150 мм. Перекрытие опирается на балку с двух сторон, пролеты перекрытия и нагрузки – одинаковые. Толщина перегородки 0,12 м, материал кирпич (1,8 т/м³), высота 3 м.

Расчет ведем на 1 погонный метр балки.

Определим вертикальную нагрузку от перегородки:

0,12∙3∙1,8 = 0,65 т/м – нормативная нагрузка;

1,1∙0,65 = 0,72 т/м – расчетная нагрузка.

Определим крутящий момент в балке путем умножения силы на плечо:

Мн = 0,65∙0,15 = 0,1 т∙м/м;

Мр = 0,72∙0,15 = 0,11 т∙м/м.

Задачи на эпюры Продольная сила в балке

Рассчитывать балку на изгиб можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.



После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:

Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.

Для пластичных материалов (сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала , а для хрупких (чугун) – пределу прочности . Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.


Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.


На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине , то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:

P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН

М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м


По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.


Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.

б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа


После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.

45.34 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.


2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).

Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса.

При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.

Рассмотрим балку с шарнирно опертыми концами, нагруженною некоторой поперечной нагрузкой и сжимающей силой 5, действующей вдоль оси балки (рис. 8.13, а). Обозначим у прогиб оси балки в поперечном сечении с абсциссой (положительное направление оси у примем вниз, и, следовательно, прогибы балки считаем положительными, когда они направлены вниз). Изгибающий момент М, действующий в этом сечении,

(23.13)

здесь изгибающий момент от действия поперечной нагрузки; - дополнительный изгибающий момент от действия силы

Полный прогиб у можно рассматривать состоящим из прогиба возникающего от действия только поперечной нагрузки, и дополнительного прогиба, равного вызванного силой .

Полный прогиб у больше суммы прогибов, возникающих при раздельном действии поперечной нагрузки и силы S, так как в случае действия на балку только силы S прогибы ее равны нулю. Таким образом, в случае продольно-поперечного изгиба принцип независимости действия сил неприменим.

При действии на балку растягивающей силы S (рис. 8.13, б) изгибающий момент в сечении с абсциссой

(24.13)

Растягивающая сила S приводит к уменьшению прогибов балки, т. е. полные прогибы у в этом случае меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки.

В практике инженерных расчетов под продольно-поперечным изгибом подразумевают обычно случай действия сжимающей силы и поперечной нагрузки.

При жесткой балке, когда дополнительные изгибающие моменты невелики по сравнению с моментом прогибы у мало отличаются от прогибов . В этих случаях можно пренебрегать влиянием силы S на величины изгибающих моментов и величины прогибов балки и производить ее расчет на центральное сжатие (или растяжение) с поперечным изгибом, как изложено в § 2.9.

При балке, жесткость которой невелика, влияние силы S на величины изгибающих моментов и прогибов балки может быть весьма существенным и пренебрегать им при расчете нельзя. В этом случае балку следует рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, понимая под этим расчет на совместное действие изгиба и сжатия (или растяжения), выполняемый с учетом влияния осевой нагрузки (силы S) на деформацию изгиба балки.

Рассмотрим методику такого расчета на примере балки, шарнирно опертой по концам, нагруженной поперечными силами, направленными в одну сторону, и сжимающей силой S (рис. 9.13).

Подставим в приближенное дифференциальное уравнение упругой линии (1.13) выражение изгибающего момента М по формуле (23.13):

[знак минус перед правой частью уравнения взят потому, что в отличие от формулы (1.13) здесь положительным для прогибов считается направление вниз], или

Следовательно,

В целях упрощения решения предположим, что дополнительный прогиб изменяется по длине балки по синусоиде, т. е. что

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты при действии на балку поперечной нагрузки, направленной в одну сторону (например, сверху вниз). Заменим в формуле (25.13) прогиб выражением

Выражение совпадает с формулой Эйлера для критической силы сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами. Поэтому его обозначают и называют эйлеровой силой.

Следовательно,

Следует отличать эйлерову силу от критической силы вычисляемой по формуле Эйлера. Значение можно вычислять по формуле Эйлера лишь при условии, что гибкость стержня больше предельной; значение же подставляют в формулу (26.13) независимо от гибкости балки. В формулу для критической силы, как правило, входит минимальный момент инерции поперечного сечения стержня, а в выражение эйлеровой силы входит момент инерции относительно той из главных осей инерции сечения, которая перпендикулярна плоскости действия поперечной нагрузки.

Из формулы (26.13) следует, что соотношение между полными прогибами балки у и прогибами вызванными Действием только поперечной нагрузки, зависит от отношения (величины сжимающей силы 5 к величине эйлеровой силы).

Таким образом, отношение является критерием жесткости балки при продольно-поперечном изгибе; если это отношение близко к нулю, то жесткость балки велика, а если оно близко к единице, то жесткость балки мала, т. е. балка является гибкой.

В случае, когда , прогиб т. е. при отсутствии силы S прогибы вызываются только действием поперечной нагрузки.

Когда величина сжимающей силы S приближается к значению эйлеровой силы полные прогибы балки резко возрастают и могут во много раз превышать прогибы вызванные действием только поперечной нагрузки. В предельном случае при прогибы у, подсчитанные по формуле (26.13), становятся равными бесконечности.

Следует отметить, что формула (26.13) неприменима при весьма больших прогибах балки, так как она основана на приближенном выражении кривизны Это выражение применимо лишь при малых прогибах, а при больших должно быть заменено тоадым выражением кривизны (65.7). В этом случае прогибы у при не равнялись бы бесконечности, а были бы хотя и весьма большими, но конечными.

При действии на балку растягивающей силы формула (26.13) принимает вид.

Из этой, формулы следует, что полные прогибы у меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки. При растягивающей силе S, численно равной значению эйлеровой силы (т. е. при ), прогибы у вдвое меньше прогибов

Наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки с шарнирно закрепленными концами при продольно-поперечном изгибе и сжимающей силе S равны

Рассмотрим двухопорную балку двутаврового сечения с пролетом Балка нагружена посередине вертикальной силой Р и сжимается осевой силой S = 600 (рис. 10.13). Площадь поперечного сечения балки момент инерции , момент сопротивления и модуль упругости

Поперечные связи, соединяющие эту балку с соседними балками сооружения, исключают возможность потери устойчивости балки в горизонтальной плоскости (т. е. в плоскости наименьшей жесткости).

Изгибающий момент и прогиб посредине балки, подсчитанные без учета влияния силы S, равны:

Эйлерова сила определяется из выражения

Прогиб посередине балки, подсчитанный с учетом влияния силы S на основании формулы (26.13),

Определим наибольшие нормальные (сжимающие) напряжения в среднем поперечном сечении балки по формуле (28.13):

откуда после преобразования

Подставив в выражение (29.13) различные значения Р (в ), получим соответствующие им значения напряжений . Графически зависимость между определяемая выражением (29.13), характеризуется кривой, изображенной на рис. 11.13.

Определим допускаемую нагрузку Р, если для материала балки а необходимый коэффициент запаса прочности следовательно, допускаемое напряжение для материала

Из рис. 11.23 следует, что напряжение возникает в балке при нагрузке а напряжение - при нагрузке

Если в качестве допускаемой принять нагрузку то коэффициент запаса по напряжениям будет равен заданному значению Однако при этом балка будет обладать незначительным коэффициентом запаса по нагрузке, так как напряжения, равные от, возникнут в ней уже при Рот

Следовательно, коэффициент запаса по нагрузке в этом случае будет равен 1,06 (так как е. явно недостаточен.

Для того чтобы балка имела по нагрузке коэффициент запаса, равный 1,5, в качестве допускаемого следует принять значение при этом напряжения в балке будут, как это следует из рис. 11.13, примерно равны

Выше расчет на прочность производился по допускаемым напряжениям. Это обеспечивало необходимый запас прочности не только по напряжениям, но также и по нагрузкам, так как почти во всех случаях, рассмотренных в предыдущих главах, напряжения прямо пропорциональны величинам нагрузок.

При продольно-поперечном изгибе напряжения, как это следует из рис. 11.13, не прямо пропорциональны нагрузке, а изменяются быстрее, чем нагрузка (в случае сжимающей силы S). В связи с этим даже незначительное случайное увеличение нагрузки сверх расчетной может вызвать весьма большое увеличение напряжений и разрушение конструкции. Поэтому расчет сжато-изогнутых стержней на продольно-поперечный изгиб следует производить не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой нагрузке.

Составим по аналогии с формулой (28.13) условие прочности при расчете на продольно-поперечный изгиб по допускаемой нагрузке.

Сжато-изогнутые стержни кроме расчета на продольно-поперечный изгиб необходимо рассчитывать также и на устойчивость.


УДК 539.52

ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА ДЛЯ ЗАЩЕМЛЕННОЙ БАЛКИ, НАГРУЖЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ, НЕСИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ И ОПОРНЫМИ МОМЕНТАМИ

И.А. Монахов1, Ю.К. Басов2

кафедра строительного производства Строительный факультет Московский государственный машиностроительный университет ул. Павла Корчагина, 22, Москва, Россия, 129626

2Кафедра строительных конструкций и сооружений Инженерный факультет Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

В статье разработана методика решения задач о малых прогибах балок из идеального жестко-пластического материала при действии несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика применена для исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных балок, а также для вычисления предельной нагрузки балок.

Ключевые слова: балка, нелинейность, аналитическое.

В современном строительстве, судостроении, машиностроении, химической промышленности и в других отраслях техники наиболее распространенными видами конструкций являются стержневые, в частности балки. Естественно, что для определения реального поведения стержневых систем (в частности, балок) и ресурсов их прочности необходим учет пластических деформаций.

Расчет конструктивных систем при учете пластических деформаций с помощью модели идеального жесткопластического тела является наиболее простым, с одной стороны, и достаточно приемлемым с точки зрения требований практики проектирования - с другой. Если иметь в виду область малых перемещений конструктивных систем, то это объясняется тем, что несущая способность («предельная нагрузка») идеальных жесткопластических и упругопластических систем оказывается одной и той же.

Дополнительные резервы и более строгая оценка несущей способности конструкций выявляются в результате учета геометрической нелинейности при деформировании их. В настоящее время учет геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем является первоочередной задачей не только с точки зрения развития теории расчета, но и с точки зрения практики проектирования сооружений. Приемлемость решений задач о расчете конструкций в условиях малости

перемещений достаточно неопределенна, с другой стороны, практические данные и свойства деформируемых систем позволяют считать, что большие перемещения являются реально достижимыми. Достаточно указать на конструкции строительных, химических, судо- и машиностроительных объектов. Кроме того, модель жесткопластического тела означает пренебрежение упругими деформациями, т.е. пластические деформации намного превосходят упругие. Поскольку деформациям соответствуют перемещения, то учет больших перемещений жесткопластических систем является уместным.

Однако геометрически нелинейное деформирование конструкций в большинстве случаев неизбежно приводит и к возникновению пластических деформаций. Поэтому особое значение приобретает одновременный учет пластических деформаций и геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем и, конечно, стержневых.

В данной статье рассматриваются малые прогибы. Подобные задачи решались в работах .

Рассматривается балка с защемленными опорами, под действием ступенчатой нагрузки, краевых моментов и предварительно приложенной продольной силы (рис. 1).

Рис. 1. Балка под распределенной нагрузкой

Уравнения равновесия балки при больших прогибах в безразмерной форме имеет вид

d2 т / , ч d2 w dn

-- + (п ± щ)-- + р = ^ - = 0, dx ах ах

х 2w р12 М N ,г,

где х ==, w =-, р =--, т =--, п =-, N и М - внутренние нормальная

I к 5хЪк Ъ!!Ък 25!!Ък

сила и изгибающий момент, р - поперечная равномерно распределенная нагрузка, W - прогиб, х - продольная координата (начало координат на левой опоре), 2к - высота поперечного сечения, Ъ - ширина поперечного сечения, 21 - пролет балки, 5^ - предел текучести материала. Если N задано, то усилие N является следствием действия р при

имеющихся прогибах, 11 = = , черта над буквами означает размерность величин.

Рассмотрим первый этап деформирования - «малые» прогибы. Пластическое сечение возникает при х = х2, в нем т = 1 - п2.

Выражения для скоростей прогибов имеют вид - прогиб при х = х2):

(2-х), (х > Х2),

Решение задачи разбивается на два случая: х2 11.

Рассмотрим случай х2

Для зоны 0

Рх 111 1 Р11 к1р/1 т = + к1 р + р/1 -к1 р/1 -±4- +-^41

х -(1 -п2)±а,

(, 1 , р/2 к1 р12Л

Рх2 + к1 р + р11 - к1 р11 -+ 1 ^

Х2 = к1 +11 - к111 - + ^

Учитывая возникновение пластического шарнира при х = х2, получаем:

тх=х = 1 - п2 =- р

(12 к12 Л к +/ - к1 - ^ + к"А

к, + /, - к,/, -L +

(/ 2 к/ 2 Л к1 + /1 - к1/1 - ^ + М

Рассматривая случай х2 > /1, получаем:

для зоны 0

к р-р2 + кар/1+р/1 -к1 р/1 ^ х-(1-П12)±

а для зоны 11

^ р-рЦ + 1^ Л

х -(1 -п-)±а +

(. рг- к1 р1-Л

Кх рх2 + кх р+

0, и тогда

I2 12 1 ч ч х2 = 1 -- + -.

Из условия пластичности вытекает равенство

откуда получаем выражение для нагрузки:

к1 - 12 + М Л2

К1/12 - к2 ¡1

Таблица 1

к1 = 0 11 = 0,66

Таблица 2

к1 = 0 11 = 1,33

0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2

Таблица 3

к1 = 0,5 11 = 1,61

0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94

0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45

Таблица 5 к1 = 0,8 11 = 0,94

0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

Таблица 3

к1 = 0,5 11 = 2,0

0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

Таблица 6 к1 = 1 11 = 1,33

0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Таблица 7 Таблица 8

к, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42

0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66

0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38

0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9

0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

Задавая коэффициент нагрузки к1 от 0 до 1, изгибающий момент а от -1 до 1, значение продольной силы п1 от 0 до 1, расстояние /1 от 0 до 2, получим положение пластического шарнира по формулам (3) и (5), а затем получим значение предельной нагрузки по формулам (4) или (6). Численные результаты расчетов сведены в таблицы 1-8.

ЛИТЕРАТУРА

Басов Ю.К., Монахов И.А. Аналитическое решение задачи о больших прогибах жестко-пластической защемленной балки под действием локальной распределенной нагрузки, опорных моментов и продольной силы // Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования». - 2012. - № 3. - С. 120-125.

Савченко Л.В., Монахов И.А. Большие прогибы физически нелинейных круглых пластинок // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». - Вып. 8(35). - СПб., 2009. - С. 132-134.

Галилеев С.М., Салихова Е.А. Исследование частот собственных колебаний элементов конструкции из стеклопластика, углепластика и графена // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». - Вып. 8. - СПб., 2011. - С.102.

Ерхов М.И., Монахов А.И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопласти-ческой балки с шарнирными опорами при равномерно распределенной нагрузке и краевых моментах // Вестник отделения строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук. - 1999. - Вып. 2. - С. 151-154. .

THE LITTLE DEFLECTIONS OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS WITH THE REGIONAL MOMENTS

I.A. Monakhov1, U.K. Basov2

"Department of Building production manufacture Building Faculty Moscow State Machine-building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia,129626

Department of Bulding Structures and Facilities Enqineering Faculty Peoples" Friendship University of Russia Ordzonikidze str., 3, Moskow, Russia, 115419

In the work up the technique of the decision of problems about the little deflections of beams from ideal hard-plastic material, with various kinds of fastening, for want of action of the asymmetrically distributed loads with allowance for of preliminary stretching-compression is developed. The developed technique is applied for research of the strained-deformed condition of beams, and also for calculation of a deflection of beams with allowance for of geometrical nonlinearity.

Key words: beam, analytic, nonlinearity.

Изгибающий момент, поперечная сила, продольная сила - внутренние усилия возникающие от действия внешних нагрузок (изгиб, поперечная внешняя нагрузка,растяжение-сжатие).

Эпюры -графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня, построенные в определённом масштабе.

Ордината на эпюре показывает значение внутреннего усилия в данной точке оси сечения.

17.Изгибающий момент. Правила (порядок) построения эпюры изгибающих моментов.

Изгибающий момент - внутреннее усилие возникающее от действия внешней нагрузки(изгиба, внецентренного сжатия –растяжения).

Порядок построения эпюры изгибающих моментов :

1.Определение опорных реакций данной конструкции.

2.Определение участков данной конструкции,в пределах которых изгибающий момент будет изменяться по одному и тому же закону.

3.Произвести сечение данной конструкции в окрестности точки, которая разделяет участки.

4.Отбросить одну из частей конструкции, разделённой пополам.

5.Найти момент,который уравновесит действие на одну из оставшихся частей конструкции всех внешних нагрузок и реакций связи.

6.Нанести значение этого момента, с учётом знака и выбранного масштаба, на эпюру.

Вопрос № 18.Поперечная сила. Построение эпюры поперечных сил, используя эпюру изгибающих моментов.

Поперечная сила Q –внутреннее усилие возникающее в стержне под воздействием внешней нагрузки(изгиб, поперечная нагрузка). Поперечная сила направлена перпендикулярно оси стержня.

Эпюра поперечных сил Q строится исходя из следующей дифференциальной зависимости: ,т.е. Первая производная от изгибающего момента по продольной координате равна поперечной силе.

Знак поперечной силы определяется исходя из следующего положения:

Если нейтральная ось конструкции на эпюре моментов поворачивается к оси эпюры по часовой стрелке, то эпюра поперечных сил имеет знак плюс, если против- минус.

В зависимости от эпюры M эпюра Q может принимать тот или иной вид:

1.если эпюра моментов имеет вид прямоугольника, то эпюра поперечных сил равна нулю.

2.Если эпюра моментов представляет собой треугольник, то эпюра поперечных сил имеет вид прямоугольника.

3.Если эпюра моментов имеет вид квадратной параболы, то эпюра поперечных сил имеет треугольника и строится по следующему принципу

Вопрос №19 . Продольная сила. Метод построения эпюры продольных сил используя эпюру поперечных сил. Правило знаков.

Полольная сила N- внутреннее усилие возникающее вследствие центрального и внецентренного растяжения-сжатия. Продольная сила направлена вдоль оси стержня.

Для того что бы построить эпюру продольных усилий нужно:

1.Вырезать узел данной конструкции. Если мы имеем дело с одномерной конструкцией, то сделать сечение на интересующем нас участке этой конструкции.

2.Снять с эпюры Q значения усилий действующих в непосредственной близости от вырезанного узла.

3.Дать направление векторам поперечных сил, исходя из того какой знак имеет данное поперечное усилие на эпюре Q по следующим правилам: если поперечная сила имеет на эпюре Q знак плюс, то её нужно направить так, что бы она вращала данный узел по часовой стрелке, если поперечная сила имеет знак минус –против часовой стрелки. Если внешняя сила проложена к узлу, то её нужно оставить и рассматривать узел вместе с ней.

4.Уравновесить узел продольными усилиями N.

5.Правило знаков для N:если продольная сила направлена к сечению, то она имеет знак минус (работает на сжатие).если продольная сила направлена от сечения, она имеет знак плюс (работает на растяжение).

Вопрос № 20.Правилаприменяемые для проверки правильности построения эпюр внутренних усилий M , Q , N .

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q будет скачок, равный значению этой силы и направленный в ту же сторону (при построении эпюры слева направо), а эпюра М будет иметь перелом, направ- ленный в сторону действия силы F.

2. В сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий момент на эпюре М, будет скачок, равный значению момента М; на эпюре Q изменений не будет. При этом направление скачка будет вниз (при построении эпюры слева направо), если сосредоточенный момент действует по ходу часовой стрелки, и вверх, если против хода часовой стрелки.

3.Если на участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила в одном из сечений равна нулю (Q=M"=0), то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение М экстр - максимум или минимум (здесь касательная к эпюре М горизонтальна).

4.Для проверки правильности построения эпюры М можно использовать метод вырезания узлов. При этом момент приложенный в узле нужно при вырезании узла оставлять.

Правильность построения эпюр Q и M можно проверить, дублируя метод вырезания узлов методом сечений и наоборот.

Размещенно 13/11/2007 12:34

Итак, beam

1. балка; прогон; ригель

2. луч

3. брус; поперечина, траверса

4. коромысло (весов)

5. стрела или рукоять стрелы (крана)

beam and column — балочно-стоечная конструкция; концевая [торцовая] рама металлического каркаса

beam carrying transverse loads — балка, нагруженная поперечными силами [поперечной нагрузкой]

beam fixed at both ends — балка с защемлёнными концами

beam loaded unsymmetrically — балка, нагруженная несимметричной нагрузкой (действующей вне плоскости симметрии сечения и вызывающей косой изгиб)

beam made of precast hollow blocks — балка, собираемая из пустотелых [коробчатых] секций (с натяжением продольной арматуры)

beam on elastic foundation — балка на упругом основании

beams placed monolithically with slabs — балки, бетонируемые совместно с плитами перекрытий

beam precast on site — сборная железобетонная балка, изготовленная на стройплощадке [построечного изготовления]

beam subjected to (both) transverse and axial loads — балка, нагруженная поперечными и продольными силами; балка, подверженная воздействию поперечной и осевой нагрузок

beam supported on a girder — балка, опирающаяся на прогон; балка, поддерживаемая прогоном

beam with overhangs — консольная балка

beam with rectangular section — балка прямоугольного сечения

beam with symmetrical (cross) section — балка симметричного (поперечного) сечения

beam with unsymmetrical (cross) section — балка несимметричного (поперечного) сечения

beam of constant depth — балка постоянной высоты

beam of one span — однопролётная балка

beam of uniform strength — равнопрочная балка

anchor beam — анкерная балка

angle beam — металлический уголок; уголковая сталь

annular beam — кольцевая балка

arch(ed) beam

2. выпуклая балка с поясами различной кривизны

baffle beam — забральная балка

balance beam — балансирная балка; коромысло весов

bamboo-reinforced concrete beam — бетонная балка, армированная бамбуком

basement beam — балка надподвального перекрытия

bedplate beam — балка [ребро] опорной плиты

bending test beam — балочка(-образец){балочка-образец¦балочка} для испытания на изгиб

Benkelman beam — балка Бенкельмана, прогибомер

bind beam — свайная насадка

bisymmetrical beam — балка с сечением, симметричным относительно двух осей

block beam — преднапряжённая железобетонная балка из отдельных блоков [секций] (соединяемых натяжением арматуры)

bond beam — связывающая [усиливающая] балка (железобетонная балка, усиливающая каменную стену и предупреждающая образование в ней трещин)

boundary beam — подстропильная балка; краевая балка

box beam — балка коробчатого сечения; коробчатая балка

braced beam — шпренгельная балка

bracing beam — раскрепляющая балка; распорка

brake beam — тормозная балка

breast beam — перемычка [балка] над широким проёмом в стене

brick beam — рядовая кирпичная перемычка (с усилением стальными прутками)

bridge beam — мостовая балка, мостовой прогон

bridging beam — поперечная балка (между балками перекрытия)

broad-flange(d) beam — широкополочная двутавровая балка, широкополочный двутавр

buffer beam — буферный брус, бампер

built-in beam — встроенная (в каменную кладку) балка; балка с защемлёнными концами

built-up beam — составная балка

camber beam

1. балка с выпуклым верхним поясом

2. балка, слегка выгнутая вверх (для создания строительного подъёма)

candle beam — балка, поддерживающая свечи или светильники

cantilever beam

1. консольная балка, консоль

2. балка с одной или двумя консолями

capping beam

1. оголовок; насадка (опоры моста)

2. ростверк ленточного свайного фундамента

cased beam

1. стальная балка, замоноличенная в бетон

2. стальная балка с наружной оболочкой (как правило, декоративной)

castellated beam — перфорированная балка

castella Z beam — перфорированный зетовый профиль

ceiling beam — потолочная балка; балка, выступающая из потолка; балка ложного потолка

channel beam — швеллерная балка

chief beam — главная балка, прогон

circular beam — кольцевая балка

collar beam — повышенная затяжка висячих стропил

composite beam — составная балка

compound beam — составная балка

conjugate beam — сопряжённая балка

constant-section beam — балка постоянного сечения

continuous beam — неразрезная балка

crane lifting beam — монтажная траверса

crane runway beam — подкрановая балка

cross beam

1. поперечная балка

2. гидр. шапочный брус

curved beam

1. балка с криволинейной осью (в плоскости нагружения)

2. криволинейная (в плане) балка

deck beam — балка, поддерживающая настил; ребро настила

deep beam — балка-стенка

double-T beam

1. сборная железобетонная балка в форме двойного «Т»

2. сборная железобетонная панель с двумя рёбрами

doubly symmetrical beam — балка симметричного сечения с двумя осями симметрии

dragging beam — отрезок бруса, поддерживающий внизу накосную стропильную ногу; подбалка

drop-in beam — висячая балка; балка, поддерживаемая (на обоих концах) консолями

eaves beam — под стропильная балка (наружного ряда колонн)

edge beam

1. краевая балка

2. бортовой камень

elastically restrained beam — упруго-защемлённая балка, балка с упруго защемлёнными концами

encastre beam — балка с защемлёнными концами

externally reinforced concrete beam — железобетонная балка, усиленная наружными арматурными элементами (обычно наклейкой стальных полос на верхней и нижней гранях балки)

false beam — ложная балка

fish(ed) beam

1. деревянная составная балка с боковыми металлическими стыковыми накладками

2. балка с выпуклыми криволинейными поясами

fixed(-end) beam — балка с защемлёнными концами

flitch(ed) beam — составная деревометаллическая балка (состоящая из средней стальной полосы и двух боковых досок, скреплённых болтами)

floor beam

1. балка перекрытия; балка пола, лага

2. поперечная балка проезжей части моста

3. балка лестничной площадки

footing beam — затяжка стропильной фермы (на уровне концов стропильных ног)

foundation beam — фундаментная балка, рандбалка

framework beam — ригель рамы (рамной конструкции)

free beam — свободноопёртая балка на двух опорах

gantry beam — подкрановая балка

Gerber beam — шарнирная балка, балка Гербера

glue(d) laminated (timber) beam — многослойная дощатоклеёная балка

grade beam — фундаментная балка, рандбалка

grillage beams — балки ростверка

ground beam

1. фундаментная балка, ростверк; рандбалка

2. нижняя обвязка каркасной стены; лежень

H beam — широкополочная балка, широкополочный двутавр

hammer beam — опорный консольный брус [подбабок] стропильной ноги

haunched beam — балка с вутами

high strength concrete beam — балка из высокопрочного железобетона

hinged beam — шарнирная балка

hollow beam — пустотелая балка; коробчатая [трубчатая] балка

hollow prestressed concrete beam — пустотелая преднапряжённая железобетонная балка

horizontally curved beam — криволинейная в плане балка

hung-span beam — многопролётная консольно-подвесная балка, балка Гербера

hybrid beam — стальная составная балка (изготовленная из сталей разных марок)

I beam — двутавровая балка, двутавр

inverted T beam — тавровая (железобетонная) балка со стенкой, обращённой вверх

jack beam — подстропильная балка

jesting beam — декоративная [орнаментная] балка

joggle beam — составная балка из деревянных брусьев, соединённых по высоте ответными выступами и пазами

jointed beam

1. монолитная железобетонная балка, бетонируемая с устройством стыковых швов

2. сборная железобетонная балка, собираемая из отдельных секций

keyed beam — балка из брусьев с соединениями на призматических шпонках

L beam — балка Г-образного сечения

laminated beam — дощатоклеёная балка

laterally-unsupported beam — балка без боковых связей

lattice beam — решётчатая [сквозная] балка

leveling beam — рейка для проверки ровности дорожного покрытия

lifting beam — грузоподъёмная траверса

link beam — перемычка (над проёмом в стене)

longitudinal beam — продольная балка

main beam — главная балка

modified I beam — сборная железобетонная балка с выпусками хомутов из верхней полки (для соединения с верхней монолитной железобетонной плитой)

multispan beam — многопролётная балка

nailed beam — составная деревянная балка с соединениями на гвоздях; гвоздевая балка

needle beam

1. балка для временного опирания стены (при усилении фундамента)

2. верхний упорный прогон спицевого затвора

outrigger beam — балка выносной [дополнительной] опоры (крана, экскаватора)

overhead runway beam — кран-балка

parallel flanges beam — балка с параллельны ми полками

partition beam — балка, несущая перегородку

precast beam — сборная железобетонная балка

precast toe beam — сборная опорная балка (напр. поддерживающая кирпичную облицовку)

prestressed concrete beam — предварительно напряжённая железобетонная балка

prestressed precast concrete beam — сборная предварительно напряжённая железобетонная балка

prismatic beam — призматическая балка

propped cantilever beam — балка с одним защемлённым и другим шарнирно опёртым концами

rectangular beam — балка прямоугольного сечения

reinforced concrete beam — железобетонная балка

reinforced floor beam — балка железобетонного ребристого перекрытия

restrained beam — балка с защемлёнными концами

ridge beam — коньковый брус, коньковая балка

ring beam — кольцевая балка

rolled beam with cover plates — прокатная (двутавровая) балка с поясными листами

rolled I beam — прокатная [горячекатаная] двутавровая балка

rolled steel beam — прокатная стальная балка

roof beam — балка покрытия

runway beam — кран-балка

sandwich beam — составная балка

secondary beam — второстепенная [вспомогательная] балка

simple beam — простая [однопролётная свободно опёртая] балка

simple-span beam — однопролётная балка

simply supported beam — свободно опёртая балка

single web beam — (составная) балка с одной стенкой, одностенчатая (составная) балка

slender beam — гибкая балка (балка, требующая проверочного расчёта на потерю устойчивости из плоскости изгиба)

soldier beam — стальная стойка крепления стенок траншей или больверка

spandrel beam

1. фундаментная балка, рандбалка

2. ригель каркаса, поддерживающий [несущий] наружную стену

spreader beam — распределительная балка

statically determinate beam — статически определимая балка

statically indeterminate beam — статически неопределимая балка

steel beam — стальная балка

steel binding beam — стальная распорка, стальная соединительная балка

stiff beam — жёсткая балка

stiffening beam — балка жёсткости

straight beam — прямая [прямолинейная] балка

strengthened beam — усиленная балка

strut-framed beam — шпренгельная балка

supporting beam — опорная [поддерживающая] балка

suspended-span beam — подвесная [висячая] балка консольно-балочного пролёта (моста)

T beam — тавровая балка

tail beam — укороченная деревянная балка перекрытия (у проёма)

tee beam — тавровая балка

tertiary beam — балка, поддерживаемая вспомогательными балками

test beam — испытательная балочка, балочка-образец

through beam — неразрезная многопролётная балка

tie beam

1. затяжка (стропил, арки) на уровне опор

2. распределительная фундаментная балка (распределяет внецентренную нагрузку)

top beam — повышенная затяжка стропил

top-running crane beam — опорная кран-балка (перемещающаяся по верхнему поясу подкрановых балок)

transverse beam — поперечная балка

trolley I beam — катучая (двутавровая) балка

trussed beam

1. ферма с параллельными поясами, балочная ферма

2. шпренгельная балка

uniformly loaded beam — балка, нагруженная равномерно распределённой нагрузкой; равномерно нагруженная балка

unjointed beam

1. монолитная железобетонная балка без рабочего шва

2. стальная балка без стыка в стенке

upstand beam — балка ребристого перекрытия, выступающая над плитой

valley beam — подстропильная балка среднего ряда колонн; балка, поддерживающая ендову

vibrating beam — виброрейка, вибробрус

vibrating leveling beam — выравнивающий вибробрус

vibratory beam — виброрейка, вибробрус

wall beam — стальной анкер для крепления деревянных балок или перекрытий к стене

welded I beam — сварной двутавр

wide-flanged beam — широкополочная балка, широкополочный двутавр

wind beam — повышенная затяжка висячих стропил

wood I beam — деревянная двутавровая балка

AZM

Использовано фото из материалов пресс-службы ASTRON Buildings

Рекомендуем также

Балка нагруженная продольной силой. Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил. Проверка равновесия узла С

УДК 539.52

ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА ДЛЯ ЗАЩЕМЛЕННОЙ БАЛКИ, НАГРУЖЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ, НЕСИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ И ОПОРНЫМИ МОМЕНТАМИ

И.А. Монахов1, Ю.К. Басов2

кафедра строительного производства Строительный факультет Московский государственный машиностроительный университет ул. Павла Корчагина, 22, Москва, Россия, 129626

2Кафедра строительных конструкций и сооружений Инженерный факультет Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

В статье разработана методика решения задач о малых прогибах балок из идеального жестко-пластического материала при действии несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика применена для исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных балок, а также для вычисления предельной нагрузки балок.

Ключевые слова: балка, нелинейность, аналитическое.

В современном строительстве, судостроении, машиностроении, химической промышленности и в других отраслях техники наиболее распространенными видами конструкций являются стержневые, в частности балки. Естественно, что для определения реального поведения стержневых систем (в частности, балок) и ресурсов их прочности необходим учет пластических деформаций.

Расчет конструктивных систем при учете пластических деформаций с помощью модели идеального жесткопластического тела является наиболее простым, с одной стороны, и достаточно приемлемым с точки зрения требований практики проектирования - с другой. Если иметь в виду область малых перемещений конструктивных систем, то это объясняется тем, что несущая способность («предельная нагрузка») идеальных жесткопластических и упругопластических систем оказывается одной и той же.

Дополнительные резервы и более строгая оценка несущей способности конструкций выявляются в результате учета геометрической нелинейности при деформировании их. В настоящее время учет геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем является первоочередной задачей не только с точки зрения развития теории расчета, но и с точки зрения практики проектирования сооружений. Приемлемость решений задач о расчете конструкций в условиях малости

перемещений достаточно неопределенна, с другой стороны, практические данные и свойства деформируемых систем позволяют считать, что большие перемещения являются реально достижимыми. Достаточно указать на конструкции строительных, химических, судо- и машиностроительных объектов. Кроме того, модель жесткопластического тела означает пренебрежение упругими деформациями, т.е. пластические деформации намного превосходят упругие. Поскольку деформациям соответствуют перемещения, то учет больших перемещений жесткопластических систем является уместным.

Однако геометрически нелинейное деформирование конструкций в большинстве случаев неизбежно приводит и к возникновению пластических деформаций. Поэтому особое значение приобретает одновременный учет пластических деформаций и геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем и, конечно, стержневых.

В данной статье рассматриваются малые прогибы. Подобные задачи решались в работах .

Рассматривается балка с защемленными опорами, под действием ступенчатой нагрузки, краевых моментов и предварительно приложенной продольной силы (рис. 1).

Рис. 1. Балка под распределенной нагрузкой

Уравнения равновесия балки при больших прогибах в безразмерной форме имеет вид

d2 т / , ч d2 w dn

-- + (п ± щ)-- + р = ^ - = 0, dx ах ах

х 2w р12 М N ,г,

где х ==, w =-, р =--, т =--, п =-, N и М - внутренние нормальная

I к 5хЪк Ъ!!Ък 25!!Ък

сила и изгибающий момент, р - поперечная равномерно распределенная нагрузка, W - прогиб, х - продольная координата (начало координат на левой опоре), 2к - высота поперечного сечения, Ъ - ширина поперечного сечения, 21 - пролет балки, 5^ - предел текучести материала. Если N задано, то усилие N является следствием действия р при

имеющихся прогибах, 11 = = , черта над буквами означает размерность величин.

Рассмотрим первый этап деформирования - «малые» прогибы. Пластическое сечение возникает при х = х2, в нем т = 1 - п2.

Выражения для скоростей прогибов имеют вид - прогиб при х = х2):

(2-х), (х > Х2),

Решение задачи разбивается на два случая: х2 11.

Рассмотрим случай х2

Для зоны 0

Рх 111 1 Р11 к1р/1 т = + к1 р + р/1 -к1 р/1 -±4- +-^41

х -(1 -п2)±а,

(, 1 , р/2 к1 р12Л

Рх2 + к1 р + р11 - к1 р11 -+ 1 ^

Х2 = к1 +11 - к111 - + ^

Учитывая возникновение пластического шарнира при х = х2, получаем:

тх=х = 1 - п2 =- р

(12 к12 Л к +/ - к1 - ^ + к"А

к, + /, - к,/, -L +

(/ 2 к/ 2 Л к1 + /1 - к1/1 - ^ + М

Рассматривая случай х2 > /1, получаем:

для зоны 0

к р-р2 + кар/1+р/1 -к1 р/1 ^ х-(1-П12)±

а для зоны 11

^ р-рЦ + 1^ Л

х -(1 -п-)±а +

(. рг- к1 р1-Л

Кх рх2 + кх р+

0, и тогда

I2 12 1 ч ч х2 = 1 -- + -.

Из условия пластичности вытекает равенство

откуда получаем выражение для нагрузки:

к1 - 12 + М Л2

К1/12 - к2 ¡1

Таблица 1

к1 = 0 11 = 0,66

Таблица 2

к1 = 0 11 = 1,33

0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2

Таблица 3

к1 = 0,5 11 = 1,61

0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94

0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45

Таблица 5 к1 = 0,8 11 = 0,94

0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

Таблица 3

к1 = 0,5 11 = 2,0

0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

Таблица 6 к1 = 1 11 = 1,33

0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Таблица 7 Таблица 8

к, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42

0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66

0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38

0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9

0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

Задавая коэффициент нагрузки к1 от 0 до 1, изгибающий момент а от -1 до 1, значение продольной силы п1 от 0 до 1, расстояние /1 от 0 до 2, получим положение пластического шарнира по формулам (3) и (5), а затем получим значение предельной нагрузки по формулам (4) или (6). Численные результаты расчетов сведены в таблицы 1-8.

ЛИТЕРАТУРА

Басов Ю.К., Монахов И.А. Аналитическое решение задачи о больших прогибах жестко-пластической защемленной балки под действием локальной распределенной нагрузки, опорных моментов и продольной силы // Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования». - 2012. - № 3. - С. 120-125.

Савченко Л.В., Монахов И.А. Большие прогибы физически нелинейных круглых пластинок // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». - Вып. 8(35). - СПб., 2009. - С. 132-134.

Галилеев С.М., Салихова Е.А. Исследование частот собственных колебаний элементов конструкции из стеклопластика, углепластика и графена // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». - Вып. 8. - СПб., 2011. - С.102.

Ерхов М.И., Монахов А.И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопласти-ческой балки с шарнирными опорами при равномерно распределенной нагрузке и краевых моментах // Вестник отделения строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук. - 1999. - Вып. 2. - С. 151-154. .

THE LITTLE DEFLECTIONS OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS WITH THE REGIONAL MOMENTS

I.A. Monakhov1, U.K. Basov2

"Department of Building production manufacture Building Faculty Moscow State Machine-building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia,129626

Department of Bulding Structures and Facilities Enqineering Faculty Peoples" Friendship University of Russia Ordzonikidze str., 3, Moskow, Russia, 115419

In the work up the technique of the decision of problems about the little deflections of beams from ideal hard-plastic material, with various kinds of fastening, for want of action of the asymmetrically distributed loads with allowance for of preliminary stretching-compression is developed. The developed technique is applied for research of the strained-deformed condition of beams, and also for calculation of a deflection of beams with allowance for of geometrical nonlinearity.

Key words: beam, analytic, nonlinearity.

Основные понятия. Поперечная сила и изгибающий момент

При изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно друг друга вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали машин и элементы конструкций. В практике встречаются поперечный (прямой), косой и чистый виды изгиба.

Поперечным (прямым) (рис. 61, а) называется изгиб, когда внешние силы, перпендикулярные продольной оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей её поперечного сечения.

Косой изгиб (рис. 61, б) это изгиб, когда силы действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не проходящей ни через одну из главных центральных осей её поперечного сечения.

В поперечных сечениях балок при изгибе возникают два вида внутренних сил - изгибающий момент М и и поперечная сила Q. В частном случае, когда поперечная сила равна нулю, а возникает только изгибающий момент, то имеет место чистый изгиб (рис. 61, в). Чистый изгиб возникает при нагружении распределенной нагрузкой или при некоторых нагружениях сосредоточенными силами, например, балка, нагруженная двумя симметричными равными силами.

Рис. 61. Изгиб: а - поперечный (прямой) изгиб; б - косой изгиб; в - чистый изгиб

При изучении деформации изгиба мысленно представляется, что балка состоит из бесконечного количества волокон, параллельных продольной оси. При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений: волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются , лежащие на вогнутой стороне - сжимаются , а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон (продольная ось), которые только искривляются , не изменяя своей длины; продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления и, следовательно, испытывают только растяжение и сжатие.

Внутренние силовые факторы в сечениях балок - поперечная сила Q и изгибающий момент М и (рис. 62) зависят от внешних сил и изменяются по длине балки. Законы изменения поперечных сил и изгибающих моментов представляются некоторыми уравнениями, в которых аргументами являются координаты z поперечных сечений балок, а функциями - Q и М и. Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений.

Рис. 62.

Поперечная сила Q есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки. Следует иметь в виду, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики.

Изгибающий момент М и есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки. Изгибающий момент также, как и поперечная сила имеет разное направление для левой и правой части балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении изгибающего момента.

Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа от сечения, видно, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М и и поперечная сила Q. Таким образом, в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту", но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки поперечных сил Q и изгибающих моментов М и удобно представлять их в виде эпюр, ординаты которых для любых значений абсциссы z дают соответствующие значения Q и М и. Эпюры строятся аналогично построению эпюр продольных сил (см. 4.4) и крутящих моментов (см. 4.6.1.).

Рис. 63. Направление поперечных сил: а - положительное; б - отрицательное

Так как для установления знаков поперечных сил и изгибающих моментов правила знаков статики неприемлемы, установим для них другие правила знаков, а именно:

  • - если внешние сипы (рис.
  • 63, а), лежащие по левую сторону от сечения, стремятся приподнять левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, опустить правую часть балки, то поперечная сила Q положительна;
  • - если внешние силы (рис.
  • 63, б), лежащие по левую сторону от сечения, стремятся опустить левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, приподнять правую часть балки, то поперечная сила (Зотрицательна;

Рис. 64. Направление изгибающих моментов: а - положительное; б - отрицательное

  • - если внешняя нагрузка (сила и момент) (рис. 64, а), расположенная слева от сечения, даёт момент, направленный по ходу часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный против хода часовой стрелки, то изгибающий момент М и считается положительным;
  • - если внешняя нагрузка (рис. 64, б), расположенная слева от сечения, даёт момент, направленный против хода часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный по ходу часовой стрелки, то изгибающий момент М и считается отрицательным.

Правило знаков для изгибающих моментов связано с характером деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз (растянутые волокна расположены внизу). Изгибающий момент считается отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх (растянутые волокна расположены вверху).

Пользуясь правилами знаков, следует мысленно представлять себе сечение балки жёстко защемлённым, а связи - отброшенными и заменёнными их реакциями. Для определения реакций пользуются правилами знаков статики.

Все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление , или заделка (рис.1,в).

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

2. Построение эпюр продольных сил Nz

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

Порядок расчета:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные - под осью.

3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр .

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Правило знаков для Мкр : условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным - в противном случае.

Пример 2. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Порядок расчета.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил .

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр .

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.

2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой . В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - Qy и изгибающий момент Mx .

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3. Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

Порядок расчета .

1. Намечаем характерные сечения.

Рассчитывать балку на изгиб можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.



После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:

Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.

Для пластичных материалов (сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала , а для хрупких (чугун) – пределу прочности . Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.


Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.


На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине , то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:

P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН

М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м


По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.


Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.

б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа


После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.

45.34 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.


2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).

Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса.

При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.

Рассмотрим балку с шарнирно опертыми концами, нагруженною некоторой поперечной нагрузкой и сжимающей силой 5, действующей вдоль оси балки (рис. 8.13, а). Обозначим у прогиб оси балки в поперечном сечении с абсциссой (положительное направление оси у примем вниз, и, следовательно, прогибы балки считаем положительными, когда они направлены вниз). Изгибающий момент М, действующий в этом сечении,

(23.13)

здесь изгибающий момент от действия поперечной нагрузки; - дополнительный изгибающий момент от действия силы

Полный прогиб у можно рассматривать состоящим из прогиба возникающего от действия только поперечной нагрузки, и дополнительного прогиба, равного вызванного силой .

Полный прогиб у больше суммы прогибов, возникающих при раздельном действии поперечной нагрузки и силы S, так как в случае действия на балку только силы S прогибы ее равны нулю. Таким образом, в случае продольно-поперечного изгиба принцип независимости действия сил неприменим.

При действии на балку растягивающей силы S (рис. 8.13, б) изгибающий момент в сечении с абсциссой

(24.13)

Растягивающая сила S приводит к уменьшению прогибов балки, т. е. полные прогибы у в этом случае меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки.

В практике инженерных расчетов под продольно-поперечным изгибом подразумевают обычно случай действия сжимающей силы и поперечной нагрузки.

При жесткой балке, когда дополнительные изгибающие моменты невелики по сравнению с моментом прогибы у мало отличаются от прогибов . В этих случаях можно пренебрегать влиянием силы S на величины изгибающих моментов и величины прогибов балки и производить ее расчет на центральное сжатие (или растяжение) с поперечным изгибом, как изложено в § 2.9.

При балке, жесткость которой невелика, влияние силы S на величины изгибающих моментов и прогибов балки может быть весьма существенным и пренебрегать им при расчете нельзя. В этом случае балку следует рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, понимая под этим расчет на совместное действие изгиба и сжатия (или растяжения), выполняемый с учетом влияния осевой нагрузки (силы S) на деформацию изгиба балки.

Рассмотрим методику такого расчета на примере балки, шарнирно опертой по концам, нагруженной поперечными силами, направленными в одну сторону, и сжимающей силой S (рис. 9.13).

Подставим в приближенное дифференциальное уравнение упругой линии (1.13) выражение изгибающего момента М по формуле (23.13):

[знак минус перед правой частью уравнения взят потому, что в отличие от формулы (1.13) здесь положительным для прогибов считается направление вниз], или

Следовательно,

В целях упрощения решения предположим, что дополнительный прогиб изменяется по длине балки по синусоиде, т. е. что

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты при действии на балку поперечной нагрузки, направленной в одну сторону (например, сверху вниз). Заменим в формуле (25.13) прогиб выражением

Выражение совпадает с формулой Эйлера для критической силы сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами. Поэтому его обозначают и называют эйлеровой силой.

Следовательно,

Следует отличать эйлерову силу от критической силы вычисляемой по формуле Эйлера. Значение можно вычислять по формуле Эйлера лишь при условии, что гибкость стержня больше предельной; значение же подставляют в формулу (26.13) независимо от гибкости балки. В формулу для критической силы, как правило, входит минимальный момент инерции поперечного сечения стержня, а в выражение эйлеровой силы входит момент инерции относительно той из главных осей инерции сечения, которая перпендикулярна плоскости действия поперечной нагрузки.

Из формулы (26.13) следует, что соотношение между полными прогибами балки у и прогибами вызванными Действием только поперечной нагрузки, зависит от отношения (величины сжимающей силы 5 к величине эйлеровой силы).

Таким образом, отношение является критерием жесткости балки при продольно-поперечном изгибе; если это отношение близко к нулю, то жесткость балки велика, а если оно близко к единице, то жесткость балки мала, т. е. балка является гибкой.

В случае, когда , прогиб т. е. при отсутствии силы S прогибы вызываются только действием поперечной нагрузки.

Когда величина сжимающей силы S приближается к значению эйлеровой силы полные прогибы балки резко возрастают и могут во много раз превышать прогибы вызванные действием только поперечной нагрузки. В предельном случае при прогибы у, подсчитанные по формуле (26.13), становятся равными бесконечности.

Следует отметить, что формула (26.13) неприменима при весьма больших прогибах балки, так как она основана на приближенном выражении кривизны Это выражение применимо лишь при малых прогибах, а при больших должно быть заменено тоадым выражением кривизны (65.7). В этом случае прогибы у при не равнялись бы бесконечности, а были бы хотя и весьма большими, но конечными.

При действии на балку растягивающей силы формула (26.13) принимает вид.

Из этой, формулы следует, что полные прогибы у меньше прогибов вызванных действием только поперечной нагрузки. При растягивающей силе S, численно равной значению эйлеровой силы (т. е. при ), прогибы у вдвое меньше прогибов

Наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки с шарнирно закрепленными концами при продольно-поперечном изгибе и сжимающей силе S равны

Рассмотрим двухопорную балку двутаврового сечения с пролетом Балка нагружена посередине вертикальной силой Р и сжимается осевой силой S = 600 (рис. 10.13). Площадь поперечного сечения балки момент инерции , момент сопротивления и модуль упругости

Поперечные связи, соединяющие эту балку с соседними балками сооружения, исключают возможность потери устойчивости балки в горизонтальной плоскости (т. е. в плоскости наименьшей жесткости).

Изгибающий момент и прогиб посредине балки, подсчитанные без учета влияния силы S, равны:

Эйлерова сила определяется из выражения

Прогиб посередине балки, подсчитанный с учетом влияния силы S на основании формулы (26.13),

Определим наибольшие нормальные (сжимающие) напряжения в среднем поперечном сечении балки по формуле (28.13):

откуда после преобразования

Подставив в выражение (29.13) различные значения Р (в ), получим соответствующие им значения напряжений . Графически зависимость между определяемая выражением (29.13), характеризуется кривой, изображенной на рис. 11.13.

Определим допускаемую нагрузку Р, если для материала балки а необходимый коэффициент запаса прочности следовательно, допускаемое напряжение для материала

Из рис. 11.23 следует, что напряжение возникает в балке при нагрузке а напряжение - при нагрузке

Если в качестве допускаемой принять нагрузку то коэффициент запаса по напряжениям будет равен заданному значению Однако при этом балка будет обладать незначительным коэффициентом запаса по нагрузке, так как напряжения, равные от, возникнут в ней уже при Рот

Следовательно, коэффициент запаса по нагрузке в этом случае будет равен 1,06 (так как е. явно недостаточен.

Для того чтобы балка имела по нагрузке коэффициент запаса, равный 1,5, в качестве допускаемого следует принять значение при этом напряжения в балке будут, как это следует из рис. 11.13, примерно равны

Выше расчет на прочность производился по допускаемым напряжениям. Это обеспечивало необходимый запас прочности не только по напряжениям, но также и по нагрузкам, так как почти во всех случаях, рассмотренных в предыдущих главах, напряжения прямо пропорциональны величинам нагрузок.

При продольно-поперечном изгибе напряжения, как это следует из рис. 11.13, не прямо пропорциональны нагрузке, а изменяются быстрее, чем нагрузка (в случае сжимающей силы S). В связи с этим даже незначительное случайное увеличение нагрузки сверх расчетной может вызвать весьма большое увеличение напряжений и разрушение конструкции. Поэтому расчет сжато-изогнутых стержней на продольно-поперечный изгиб следует производить не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой нагрузке.

Составим по аналогии с формулой (28.13) условие прочности при расчете на продольно-поперечный изгиб по допускаемой нагрузке.

Сжато-изогнутые стержни кроме расчета на продольно-поперечный изгиб необходимо рассчитывать также и на устойчивость.


загрузок | Виды грузов | Статика

Основные нагрузки, которые мы будем учитывать в наших системах:

Сосредоточенная сила

- Единица сосредоточенной силы кН
- Диаграмма моментов линейная (кривая 1°)
- В момент приложения силы имеется разрыв.

Распределенная нагрузка

- Единица распределенной нагрузки кН/м
- Диаграмма момента - кривая 2°

Сосредоточенный момент

- Единица момента кНм
- В точке его приложения на диаграмме крутящего момента имеется скачок на величину крутящего момента

Треугольная распределенная нагрузка

- Блок кН/м
- Диаграмма моментов представляет собой кривую 3°
- Центр тяжести нагрузки находится в 2L/3

Кронштейн

- балку обрабатываем как каркас или "снимаем" скобу

Удаление кантилевера заключается в переносе силы на точку его приложения и вычислении момента от этой силы по отношению к точке, к которой она приложена.В нашем случае после снятия кронштейна балка выглядит так:

.

Основы статики конструкций: Основы - нагрузки


1. Сосредоточенная нагрузка и сосредоточенный момент.

Максимально простые (поддающиеся расчету) виды нагрузок. Они не должны вызывать проблем, потому что также сложно представить ситуацию, когда они могут их вызвать. Пример с сосредоточенной нагрузкой (и только с ней) ранее в блоге (прямая балка — пример 1).

Исключением (читай: более сложным) может быть ситуация, когда приложенное усилие происходит под углом. Тогда мы должны сделать две (компоненты) из одной силы, и лучше хорошо знать принципы тригонометрии, потому что это намного проще.Распределить силы под углом на компоненты и не только в стойке - прямой балке - пример 2.

2. Распределенная нагрузка (прямоугольная)

Вот тут и начинается самое интересное. Советую нравиться, потому что этот вид нагрузки один из любимых для задач на изобретательство, и он самый распространенный в жизни.

Может быть два (по существу) варианта. Когда есть вертикальная сила (это классический вариант) и когда распределённая сила действует под углом - тогда её надо разбить на составляющие, и всё немного усложняется.

Но давайте разберемся с первым случаем. Самый лучший пример. У нас есть этот луч:

Наша нагрузка, как видно, q=2 кН/м

Мы не смотрим на опоры. Нас интересует только наш прямоугольник.

Вспоминаем формулу площади прямоугольника ;)

Первое, что мы делаем, это преобразуем распределенную нагрузку в сосредоточенную силу. Это понадобится для расчета реакции. Как мы делаем это?

  • какое значение будет иметь новая сила? - просто! площадь прямоугольника - смотрим на маленькое q как на высоту такого прямоугольника.(заменяем маленькую q на заглавную Q)

поэтому: а*б; в нашем случае Q = q * 3 = 2 кН * 3 = 6 кН

  • где мы его разместим? тоже легко! - посередине основания (в центре тяжести фигуры)

Нагрузка уже заменена. С ним уже можно что-то делать, например считать реакции.

Мы также можем приступить к определению значений характерных точек на графике. ВНИМАНИЕ! Диаграмма момента от нагрузки, распределенной по прямоугольнику, имеет форму параболы (кривая второй степени).

Для того чтобы вычислить все характерные точки графика, а также для вычисления (в некоторых случаях) экстремума, мы должны записать так называемую рецепт функции. Звучит ужасно, но бояться нечего. Все, что нужно, это немного практики, это не очень высокая математика


Шаг за шагом, о чем речь.
Возвращаемся к нашей балке, предположим, что мы уже рассчитали реакции, и наша статическая диаграмма выглядит так, как показано ниже. Затем мы «вырезаем» фрагмент, для которого хотим написать рецепт функции.

От балки «вырежьте» фрагмент длиной 3 м (потому что это длина распределенной нагрузки).

Как видите, мы будем писать рецепт слева, можно конечно справа; делаем почти одинаково (об этом "почти" в другой раз).

Обратите внимание, что мы пишем рецепт для некоторого x (iks). Мы должны как-то это определить. Поскольку х заменяет отрезок в 3 (три) метра, нетрудно догадаться, что наш х = (0; 3) - принадлежит диапазону от нуля до трех. [В моем распоряжении только убогий текстовый редактор от blogger, который не отражает большинство математических тонкостей; Постараюсь набрать достаточно комментариев, чтобы все было понятно).

Едем:

Функциональное обеспечение момента (а также сил T и N) есть не что иное, как сумма моментов в правой части нашего поперечного сечения. Приходится читать знаки моментов от отдельных сил с чертежа (см. блог). Мы предполагаем правовинтовую систему. Мы видим, что сфокусированный момент, равный 21, вращается вправо, поэтому знак плюс. С распределенной нагрузкой дело не так сложно, как кажется. При этом у нас (все время) q = 2 кН, а основание х (раньше было 3 м).2

Объяснение. Почему это так. В таких случаях всегда добавляется сосредоточенный момент (знак определяется заранее). Распределенная нагрузка - если внимательно посмотреть, то с ней поступаем почти так же, как и при расчете реакции. Преобразуем их в сосредоточенную силу с той разницей, что основание нашего прямоугольника равно х, т. е. Q = q*x; точка приземления (как и раньше) находится на полпути к основанию - так что x / 2 (x больше двух). Конечно, все это негативно.

Когда у нас есть уравнение, записанное таким образом, мы подставляем значения x, которые мы определили в начале. Это даст нам ответы на значение момента в отдельных точках.

Принципы работы аналогичны тем, что на данный момент. Мы смотрим, есть ли у нас уже какая-либо сосредоточенная сила (или сосредоточенные силы) в начале нашего интервала. В нашем случае нет, поэтому учитываем только распределенную нагрузку.
Важно не забыть отметить силы сдвига по отношению к поперечному сечению (см. первый пример с прямой балкой).Силы на левой стороне сечения положительны, если они направлены вверх; а силы с правой стороны сечения (если мы идем с правой стороны) положительны, когда они направлены вниз.


Как и в случае с моментами, тоже "идем слева". Распределенная нагрузка направлена ​​вниз, поэтому она будет иметь отрицательный знак. Для полноценности его удобнее всего собрать в сосредоточенную силу (как в начале примера). Таким образом, уравнение силы сдвига:

Т (х) = q * х = 2 кН * х 9000 4 Действуем так же, как и с поперечными силами, с одним отличием в маркировке.В нормальных силах положительные значения имеют действующие силы из раздела . В нашей балке нет осевых усилий, поэтому отсылаю вас к блогу (прямая балка — пример 2).

3. Кронштейн (ручка)

Еще одно интересное препятствие в задачах, которых, впрочем, не стоит бояться, и решать механически, без больших комбинаций (особенно в начале). После лучшего позиционирования ручки можно начинать решать более хитрым способом, но в начале предлагаю уменьшить. Правила уменьшения кантилевера не сложны.

Для чего мы это делаем? Ну и чтобы не приходилось решать прямую балку как рамы (короче).

Начнем с самой простой руки:

Опять же, нас интересует только кантилевер и сила, приложенная к его концу. Кронштейн «касается» балки в точке А. Приступаем к приведению. Как показано на картинке ниже; Сначала рисунок, потом пояснение.

Мы видим, что произошло. Кронштейн (ручка) исчез (уменьшился). Наша сила в 4 кН «уходит» в точку А (она просто передавалась в точку соединения (выступания) консоли с балкой).

Поскольку нельзя безнаказанно передавать силы в системе (это касается любой системы, будь то балка, рама или решетка), мы имеем сосредоточенный момент, также в точке А. Он направлен на уравновешивание обеих систем (до и после сокращения). Момент возникает в результате перемещения нашей силы в другую точку. Нам нужно установить его значение и знак.

Мы видим, что на плечо длиной 2 м действует сила 4 кН (если мы ее не видим, см. пост про моменты). С другой стороны, направление момента согласуется с направлением силы относительно точки А.


M = 4 кН * 2 м = 8 кН·м 9000 4
Остальные комбинации ручек без комментариев, т.к. принципы работы те же.

Мы также можем иметь дело с ситуацией, когда у нас есть сконцентрированный момент в конце скобки. Затем мы просто перемещаем его, и больше ничего не происходит.


.90 000 лучей

Балки

1 Предварительная информация

1.1 Балочные элементы

В зависимости от типа входной 3D-модели существует два метода разработки балочной модели:

  1. Путем упрощения на уровне SWS любой «балочной» 3D-модели, удовлетворяющей основным условиям: длина балки как минимум в 10 раз больше других размеров, а поперечное сечение балки постоянно.Если первое условие не выполняется, программа выдает предупреждение, но не блокирует расчеты.
  2. Автоматическое преобразование в среде SWS, если исходная модель была создана с помощью инструмента "Сварные детали".

1,2 Новые обозначения в категории "Светильники"

Говорят, что элемент балки имеет 6 степеней свободы в каждом узле, как и элемент оболочки (три осевых смещения и три поворота поперечного сечения). По этой причине видоизменяется известный нам по предыдущим классам символ «зеленой стрелки».

Задается осевое смещение (например, ноль) в заданном направлении
Задан вращение поперечного сечения (например, ноль) вокруг показанной оси.
Заданы осевое смещение в заданном направлении и поворот поперечного сечения вокруг этой оси.

1,3 Новые декали в категории "Сила"

В категории Сила , помимо сосредоточенных сил, вы также можете определить моменты относительно выбранной оси.

Концентрированная сила
Сосредоточенный момент (в данной ситуации кручения)

1,4 Обозначения разъемов 9000 7

Модель балки состоит из соединенных вместе стержней. Принцип их создания прост – каждому члену соответствует один базовый элемент эскиза – линия или дуга. SWS показывает концы элементов модели по-разному.

Этот конец звена не связан ни с какой другой частью модели (наконец-то зеленый в SW означает "бесплатно"! Ух ты! :-))
В этом месте есть стык (в данном случае это жесткое соединение двух труб).

2 Пример. Расчет консольной балки постоянного сечения 20×20×2 мм

2.1 Аналитические расчеты

Если предположить, что труба длиной 200 мм нагружена как консольная балка силой 100 Н, то для нормальной прочности можно получить следующие результаты:

  • Максимальное нормальное напряжение ок.26,7 МПа или (для параметров поперечного сечения, рассчитанных по SWS) около 29 МПа
  • Максимальный прогиб около 0,17 мм (для параметров сечения, рассчитанных SWS) около 0,18 мм.

Детали расчета здесь, соответствующий файл Smath Studio здесь

Результаты строго аналитических расчетов несколько неточны (занижены), так как не учитывают точную форму поперечного сечения (радиусы скругления в углах).Более точный метод определения параметров поперечного сечения приведен ниже (в конце следующей главы). Для определенных таким образом параметров поперечного сечения совпадение результатов МЗС с прочностью материалов полное.

2.2 Расчеты МКЭ

В этом примере модель балки будет создана с помощью инструмента Weldments

  1. Создайте ось рамы - горизонтальную линию длиной 200 мм

  2. Откройте ленту Сварные детали : ППМ на название любой ленты, отметьте Сварные детали
  3. Щелкните значок Элемент конструкции на этой ленте

  4. Выберите стандарт размеров профиля ( ISO ), его тип ( квадратная труба ) и размеры в мм (20 × 20 × 2)
  5. Выделите линию эскиза мышью, проанализируйте изменения,
  6. Перейдите на вкладку Моделирование , определите новое статическое исследование с именем Балка.Проанализируйте изменения гладкости конструкции: появление «шариков», обозначающих стыки и видимую ось балки. Фактически все расчеты выполняются программой только для конечных элементов на этой оси, квадратная труба, видимая на экране, является лишь визуализацией.

  7. Укажите материал (легированная сталь).

  8. Полностью зажмите модель с одного конца. Обратите внимание, как стрелки меняют форму.

  9. Здесь мы видим ошибку содержания SWS: два одинаковых значка якоря используются для двух разных типов крепления.Первый анкер соответствует полностью стационарному соединению (без осевого смещения и поворота сечения). Второй - частично стационарный: осевого смещения нет, но вращение секции не стеснено, т.е. эта фиксация действует как трехосный сустав.
  10. Нагрузить с силой 100 Н на другом конце:
    1. Дерево: PPM на нагрузке , прочность . В первом поле выбора выберите значок Connections .
    2. Выберите соединение, на которое будет воздействовать сила.
    3. Укажите направление силы, выбрав направление, перпендикулярное выбранной главной плоскости (название этой плоскости может отличаться от приведенного на чертеже).

    4. Практическое примечание. В качестве альтернативы (и немного проще) вы можете указать направление силы любым ребром.
    5. Введите числовое значение силы или измените ее направление,
  11. Выполнить расчеты (сетка будет сгенерирована автоматически).
  12. Практическое примечание. Метод отображения результатов по умолчанию для модели балки очень слабый:

    • Независимо от того, какова реальная форма поперечного сечения балки, эта форма меняется на восьмиугольную трубу (пример результата показан ниже). Можно и даже необходимо, за счет более длительных расчетов и (иногда) плохих результатов изменить этот вид на более реалистичный, отметив опцию Визуализация профиля балки в меню определения графика напряжений (PPM на результат, Изменить определение ).
    • Из всех напряжений отображаются только максимальные нормальные напряжения, и столько раз, сколько различных диаграмм напряжений предусмотрено в конфигурации программы по умолчанию для статического анализа.
    • Типичные результаты "балки": диаграммы сил и моментов не отображаются по умолчанию.
    • Невозможно изменить это поведение программы (по крайней мере, в SWS 2020), потому что меню Simulation/Options этого не предусматривает.

  13. Просмотр и анализ графиков доступных результатов, особенно так называемых Схемы стрелы .
  14. Проверить работу опции Рендеринг профиля балки .
  15. Вы можете отобразить все результаты для всех или только для выбранных балок, используя Список усилий балки .
  16. Традиционно правильность приложения нагрузки проверяется анализом реакции сдерживания ( Список результирующих усилий ):
    1. Отмечаем один или несколько коннекторов, в которых хотим отобразить реакцию
    2. Мы нажимаем «Обновить» каждый раз, когда хотим увидеть результат внесенных изменений.
    3. В таблицах Сила реакции и Момент реакции даны соответствующие значения для всей модели и нашего выбора.
    4. По умолчанию программа отображает все ненулевые компоненты силы реакции и момента. Выбрав эту опцию, вы можете ограничить себя результирующими значениями.
2.2.1 Словарь названий результатов анализа SolidWorks-Human

Названия ударений в версии PL SWS - это отображение отсутствия у переводчика базовых знаний:

Верхняя осевая и изогнутая
Обозначает максимальные нормальные напряжения в данном поперечном сечении, возникающие в результате действия осевой силы или изгибающего момента.Это имя появляется только тогда, когда результаты отображаются по умолчанию на фоне восьмиугольного сечения, которое заменяет форму реального сечения. Программа определяет максимальное осевое напряжение по абсолютной величине в точке поперечного сечения и окрашивает все поперечное сечение восьмиугольника в соответствующий цвет. Мы не знаем: а) где именно находится эта точка высокого напряжения; б) являются ли они растягивающими или сжимающими напряжениями.
90 120 Осевые и изгибные 90 121
Нормальные напряжения в данном сечении из-за осевой силы или изгибающего момента.Это имя появляется только при отображении результатов на реальном поперечном сечении (после рендеринга).
90 243 90 120 Рулевое управление 90 121 90 246
Касательные к плоскости сечения напряжения, рассчитанные по крутящему (например, вращательному) моменту.
2.2.2 Определение параметров сечения
ПО

, как и большинство других САПР, позволяет пользователю определять основные параметры (площадь, моменты инерции и т.д.) любого поперечного сечения.Для определения этих параметров в данном случае достаточно:

  1. Перейти на вкладку Модель . На вкладке Оценки ленты щелкните Свойства раздела .
  2. Выберите раздел, его название появится в окне выбора.
  3. Если результат не отображается автоматически, просто нажмите Пересчитать .
  4. Значения результата даны для локальной оси для выбранного сечения системы координат.Эта система расположена в центре тяжести секции. Ось Z всегда ориентирована вдоль оси луча.

2.3 Упражнение

  1. Продублируйте существующее исследование и измените нагрузку на конце балки на изгибающий момент 4 Н·м, который действует относительно одной оси сечения (см. рисунок выше). Правильные результаты: максимальное нормальное напряжение около 5,78 МПа, прогиб - 0,055 мм.
  2. Сделайте еще одну копию существующего исследования и измените нагрузку на крутящий момент 50 Н·м.Максимальное значение касательных напряжений составляет около 51,6 МПа.
  3. Практическое примечание. Во втором упражнении SWS имеет очень серьезные проблемы с визуализацией и интерпретацией результатов расчета.

    Равномерное распределение касательных напряжений, отображаемое программой даже при визуализации сечения, является неточным, поскольку соответствующая формула прочности материала, используемая для расчетов в SWS, неточна.Вероятно, это формула для любого замкнутого сечения трубы, определяющая среднее значение касательных напряжений. Более точный результат (полученный после 3D-анализа) показан выше. Разница жутко большая.

3 Пример. Расчет простой консольной балки переменного сечения

SWS в ограниченных пределах позволяет работать с балками переменного сечения. Исходная модель такой балки должна быть выполнена как традиционная 3D SW модель (без использования инструмента «Сварные детали»).Ниже показан именно такой элемент конструкции, который будет изгибаться в сторону постоянной толщины (10 мм).

  1. Сохранение 3D-модели материала элемента конструкции — углеродистая сталь

  2. Определение нового статического исследования. Щелкните правой кнопкой мыши имя модели, выберите параметр Рассматривать как балку

  3. В целом для дальнейшего анализа достаточно создать два соединения на концах балки. Но если вы хотите проверить положение оси луча, PPM на Группа соединений , выберите Редактировать

  4. В новом окне просто отметьте опцию Показать нейтральную ось .Отправьте результат с помощью . Признаком того, что все прошло успешно, является смена значка рядом с названием детали - теперь это должен быть двутавр с зеленой "трубой" ().
  5. Практическое примечание. Эта "волшебная" процедура имеет одну цель - проверить, подходит ли наша 3D-модель для преобразования ее в балку, и, если возможно, сделать это преобразование.

  6. Как и ранее, зафиксируйте модель с одной стороны (в стыке, соответствующем широкой части балки) и нагрузите 500 Н в оставшемся стыке.


  7. Результат расчетов (максимальные нормальные напряжения в сечении) начиная с МСС 2018 согласуется с результатами аналитических расчетов. Однако стоит помнить, что во всех предыдущих версиях программы (например, SW 2017) результат был плохим.

4 Пространственные балочные конструкции и трехмерные эскизы

4.1 Упражнение. Стул модель

4.1.1 Развитие модели

Создайте модель стула, как показано на картинке выше.Отличные дизайнерские идеи :-) приветствуются. Обратите особое внимание на отношения между элементами эскиза (он состоит из множества элементов с одинаковыми размерами) и его полное определение. Материал - любая сталь или алюминиевый сплав, используемый для изготовления профиль - труба ⌀21,3×2,3, радиус закругления при изгибе трубы не менее 50 мм.

Практическое примечание. При создании модели стула необходимо определить несколько групп элементов конструкции.Почему программа иногда заставляет меня создать новую группу? Потому что сегменты модели могут принадлежать к одной группе только при выполнении одного из двух условий:
  • Сегменты образуют непрерывный путь
  • Все сегменты в группе параллельны

В любом случае достаточно создать всего две группы - одна будет содержать 4 "перекладины" (две для сиденья и две для опоры), другая - все остальные сегменты.

4.1,2 Ограничение

Смещений нет (только смещения, это не относится к повороту сечения трубы, поэтому выбираем вариант Не двигается (без перевода) ) в 1 точке, в остальных без смещений в направлении Y. Дополнительно , в одной из точек необходимо добавить блокировку вращения всей модели вокруг вертикальной оси (соответствующее условие не было , показанным на рисунке выше). Есть два варианта на выбор:

  1. Более правильный вариант .Блокируем смещение в нужную сторону в одном из суставов.
  2. Менее правильный вариант . Блокируем вращение кресла вокруг своей оси в этом суставе, где все смещения обнуляются.
4.1.3 Загрузить
  • В части, связанной с сиденьем: 2 × 600 Н, параболической формы. Процедура:
  1. Выберите значок с балкой, что означает, что нагрузка будет распределена по ее длине и нажмите на ось балки, на которую действует нагрузка ( можно выбрать только одну балку )
  2. Укажите направление действия нагрузки (традиционно: либо соответствующей линией, либо перпендикулярно существующей плоскости, либо вдоль ее направлений
  3. Введите результирующую нагрузку или измените направление на
  4. Выберите Гетерогенное распределение
  5. Собери форму, .Кстати, возникает риторический вопрос: почему в случае балки в ЗС так просто определить и показать параболическую форму груза, а в случае других моделей так сложно?
  • Для верхней части спинки: 200 Н, горизонтальное направление, треугольная форма.
  • Чтобы уравновесить предыдущую нагрузку, необходимо приложить 2 × 100 Н в противоположном направлении к балкам сиденья. Нагрузка равномерно распределяется по балке.
  • Практические соображения.
    • Вид многочисленных «шариков», которыми МВС маркирует стыки в модели балки, очень часто искажает интерпретацию результатов анализа. Скрыть "шарики" можно легко: PPM на Группа подключения в дереве отметьте Скрыть

    • Все, что мешает гордым :-) просмотр результатов анализа можно скрыть, выбрав соответствующую кнопку в выпадающем меню Скрыть все типы .
    • Большим недостатком SWS по сравнению с «настоящими» МКЭ программами является отсутствие учета того факта, что при изгибе труб изменяется как форма поперечного сечения (от круглой до овальной или эллиптической), так и толщина стенок и при их загрузке.Это явление называется «овализацией» и часто оказывает заметное влияние на прочность конструкции.
    4.1.4 Расчеты, анализ результатов, возможные изменения входной модели 90 239
  • Выполнение расчетов, отображение и анализ результатов. Начните (как всегда) с проверки суммы реакций сдерживания ( Результаты , PPM, Результат Список сил ). Верны ли значения реакции?

  • Помимо результирующей реакции, стоит проверить реакции в отдельных точках опоры.Они должны быть симметричными и почти полностью состоять из вертикальных компонентов.
  • В какой части модели возникают наибольшие осевые напряжения?
  • Что вызывает эти напряжения: высокий крутящий момент, высокое осевое усилие?
  • В каких частях модели использование балочных элементов не совсем законно? Подсказка: помните об ограничениях на минимальную длину балки и ее форму.
  • Какое самое простое изменение конструкции, которое определенно увеличило бы его прочность? Проверьте свой ответ практически.
  • 4.2 Примечания о влиянии плотности сетки на точность результатов в балочной модели

    Модели балок представляют собой особый вид моделей МКЭ, в которых применяется большинство ограничений, типичных для других конечных элементов. Поэтому рекомендации по уплотнению сетки для балочных моделей немного отличаются.

    Обзор теории
    1. Функции формы балочного элемента являются полиномами 3-й степени.Решение уравнения отклоненной оси балки в случае нагрузки с сосредоточенной силой также является полиномом не более 3 градусов. Так что для такого типа задач «лучевой МКЭ» дает точный результат уже на сетке из 1 элемента. Однако даже в этом случае рекомендуется немного уплотнить сетку только в эстетических целях (графики результатов будут более гладкими).
    2. Распределенная нагрузка в модели МКЭ всегда преобразуется в сосредоточенные силы/моменты в узлах. Это не совсем точная замена, поэтому для таких задач измельчение сетки влияет, как правило, незначительно на результаты.

    90 120 Резюме 90 121. Сетка по умолчанию, созданная SWS, обычно дает точный или почти точный результат с точки зрения прочности материала и не требует дополнительного уплотнения. Однако сопротивление материалов — это очень упрощенный вариант механики твердого тела. Следовательно, результат для модели балки не обязательно должен быть (и часто не является) таким же точным, как результаты, полученные для модели оболочки или 3D-модели.

    SWS не облегчает жизнь своим пользователям, не позволяя (формально) определять плотность сетки, например, с помощьюPPM на Mesh в дереве и выбор Create mesh . Но это можно сделать через т.н. "контроль".

    4.3 Дополнительное задание, слегка расширенное

    Найдите распределение напряжения в "пауке", показанном выше. Равномерная нагрузка, всего 1кН. Доказательство того, что это можно сделать, показано ниже.

    4.4 Дополнительное задание для настоящих орлов в 3D скетчинге :-)



    © И.Рокач, 2014-20, v.7.0.0, 25.12.2020, для SOLIDWORKS Simulation 2020 Edu
    Перед печатью подумайте о среде

    .

    Современные перемычки - обзор, выбор

    Перемычки были одним из важнейших элементов конструкции с самого начала строительства зданий. Какие перемычки сегодня самые популярные? Каковы правила их выбора? Почему важна огнестойкость перемычек?

    Конструкция перемычек изначально ограничивалась размерами одного элемента, а несущая способность оценивалась экспериментально.Со временем была обнаружена возможность формировать большие проемы в арочных конструкциях, соблюдая природу и ее естественные решения [1]. Греческая цивилизация использовала арочные конструкции для оформления проемов до 6 м, затем римляне увеличили их до 40 м. Поиски правильной формы заключались в создании равноценных систем (рис. 1) из каната и груза. После выворачивания формировалась форма, в которой преобладали сжимающие напряжения.

    Рис. 1. Схема определения оптимальной формы арочной конструкции: а – растяжение, б – сжатие, q – распределенная нагрузка, Р – сосредоточенная сила, е – стрела лука, л – пролет арки

    В довоенном строительстве [2] использовались ориентиры форм арочных и плоских перемычек.Считалось, что постройка перемычки в соответствии с нормативами достаточна для обеспечения ее несущей способности. Этот тип перемычки до сих пор распространен в бывших немецких зданиях. Иногда встречаются и перемычки в виде деревянных элементов, досок или полное отсутствие перемычки, что является выдумкой польских строителей (часто неверно). Не только из-за несущей способности, но и из-за пожарных условий.

    В настоящее время большую часть перемычек изготавливают из сборных элементов на основе железобетона или, при недостаточной несущей способности, применяют стальные профили.Проектирование перемычек основано на выборе их геометрии и несущей способности на основании таблиц, предоставленных заводом-изготовителем, при недостаточной несущей способности стальные балки проектируются в соответствии с действующими нормами.

    Обзор современных перемычек

    В настоящее время большое внимание уделяется эффективности работы на стройке и удобству проектировщиков. Большинство используемых перемычек представляют собой сборные железобетонные элементы с высокой несущей способностью. Установка на строительной площадке только готовых элементов значительно ускоряет необходимое время работ.Использование популярных решений также является гарантией их надежности. С другой стороны, проектировщику не нужно тратить время на определение несущей способности перемычки в деталях путем расчета или чертежа арматуры. Достаточно оценить нагрузку, чтобы иметь возможность выбрать несущую способность такой перемычки. Среди железобетонных перемычек можно выделить два основных типа: обычные перемычки и перемычки из предварительно напряженного бетона (сжатые). Они отличаются технологией изготовления, несущей способностью и огнестойкостью.

    Вы также можете выбрать перемычки от производителей комплектных стеновых систем, будь то керамические, ячеистые бетонные или силикатные.

    Сборные перемычки спроектированы таким образом, что в большинстве случаев их грузоподъемность достаточна. При отсутствии в стене дополнительных нагрузок, превышающих собственный вес стены, несущая способность такой перемычки будет обеспечена. Если в стене есть дополнительные нагрузки, такую ​​перемычку следует проверить. Если перекрытие или другая дополнительная нагрузка расположены на высоте ниже 0,866 расчетной длины перемычки, такую ​​перемычку следует проверить на эту нагрузку.В противном случае можно считать, что нагрузка не попадает в зону воздействия на перемычку.

    Рекомендуем: Потолки в жилищном строительстве

    Одним из самых известных и старых типов перемычек являются Л19, которые изготавливаются из стали АIII, АIIIN и бетона С20/25 без предварительного напряжения. Обычно они имеют приличную огнестойкость R60. Доступные пролеты составляют 90-360 см в зависимости от производителя. Выше пролета 2 м их рекомендуется штамповать во время возведения стены.Необходимо использовать не менее двух балок, чтобы их можно было использовать на стенах от 24, 25 см. Они требуют бетонирования пространства между ними, что замедляет процесс сборки, но позволяет дополнительно армировать это пространство. Толщина одного бруса обычно 9 см (есть и 12 см), а высота 19 см. Производители указывают разную грузоподъемность, поэтому рекомендуется указывать предполагаемое значение в проекте. Не рекомендуется использовать одинарную балку L19 (фото 1) на перегородках, так как арматура может работать несимметрично, что в свою очередь приводит к ее перекручиванию.

    Рис. 1. Перемычка L19 [3]

    Если арматура проходит в перемычке непрерывно, ее можно обрезать на месте до нужной длины. В случае L19 это будет зависеть от конкретного производителя. Минимальная опора на стену 10 см для длины до 150 см, 12 см для длины до 240 см, 14 см выше - будет зависеть от производителя.

    Довольно популярны предварительно напряженные бетонные перемычки, например, СБН 72/120, 72/180, 100/120 и 120/120 (фото1 и 2). Тип перемычки в данном случае также является информацией о размерах поперечного сечения перемычки. Они отличаются высокой прочностью за счет использования предварительно напряженных связок. Это перемычки из высококлассного бетона марки С40/50.

    Рис. 2. Перемычка СБН 120/120 [4]

    Они имеют большую прочность, чем L19. Обжатие осуществляется по всей длине формы, после высыхания производится распил на отдельные перемычки. Благодаря этому технологическому процессу была обеспечена свобода нарезки нужных отрезков на строительной площадке.К сожалению, эти перемычки характеризуются относительно низкой огнестойкостью R30, что ограничивает возможную область их применения. Они не требуют бетонирования промежутков между собой, что ускоряет работу с ними по сравнению с Л19. В зависимости от конструкции их можно использовать на стенах толщиной 12 см, 18 см и более. Эти перемычки выполнены с обратным прогибом стрелы. Пролеты перемычек 1-4,2 м для СБН 100/120; 1-2,4 м для СБН 72/180; 1-2,1 м для 72/120. Если потолок попадает в зону удара перемычки, то при бетонировании перемычку следует проштамповать.В программном обеспечении, предоставленном изготовителем для определения размеров, борт крыши учитывается для взаимодействия при передаче нагрузок при условии, что он находится в зоне взаимодействия. Минимальная ширина спинки на стене – 10 см для проемов до 100 см, для больших – 15 см. В настоящее время производитель не предоставляет библиотеки BIM. Имеется программа расчета (рис. 2) и таблицы для помощи в выборе перемычки.

    Рис. 2. Скриншот программы Kalkulator SBN

    Керамические перемычки в составе стеновой системы Porotherm (рис.3) перемычки 11,5 и 23,8. Перемычка 11.5 выполнена в виде составной конструкции из несущей балки, работающей на растяжение, и взаимодействующих слоев надстройки. Как единая самонесущая балка, она не достигает полной гарантированной прочности. Сама сборная конструкция в основном функционирует как растяжимый элемент композитной балки. Требуется кладка не менее чем двумя слоями кирпича мин. 10 МПа или один слой блоков Porotherm с заполнением вертикальных швов. Размеры перемычки составляют 115 x 71 мм, а доступные длины от 75 до 300 см (каждые 25 см).Их несущая способность будет зависеть от конструкции стены и доступна в материалах, предоставленных производителем (венец также входит в сотрудничество). Перемычка 23,8 имеет размеры 70 x 238 и длину от 100 до 325 см (каждые 25 см). Несущая способность этой перемычки также определяется в зависимости от конструкции стены, но в этом случае не требуется слияния с вышележащими слоями кладки. Обе перемычки обладают хорошей огнестойкостью: 23,8 имеет R60, а 11,5 — R90.

    Рис.3. Перемычки Porotherm 11,5 и 23,8 [5]

    Производитель заявляет, что эти перемычки можно резать на стройплощадке, потому что они имеют постоянный ряд армирования, но прочности присваиваются конкретным изделиям и гарантии на индивидуальные решения нет. В случае перемычки 11,5 клейма накладывают с шагом 1 м и оставляют на 14 суток с момента завершения возведения стены вместе с заливкой венца. Штампы на перемычки не требуются 23.8.

    Производитель предоставляет библиотеки BIM в качестве установленных надстроек для программы Revit.К сожалению, наложения совместимы с версией 2012 и не будут работать с более новыми версиями Revit. Дополнительно производитель предоставил файл запуска для программы Revit (рис. 4).

    Рис. 4. Шаблон запуска Porotherm для Revit

    Благодаря этому Revit вне зависимости от версии сам конвертирует контент в последнюю версию и нет проблем с совместимостью библиотек. Что касается самих библиотек, то это семейства Revit со средним уровнем детализации, но их достаточно для работы дизайнера.Важно, что производители открыты для сотрудничества с BIM, так как он постепенно становится стандартом в повседневной работе современных проектных бюро. Перемычки Solbet (фото 3) представляют собой перемычки из ячеистого бетона NS R30 с огнестойкостью R30 и перемычки NS R90 с огнестойкостью R90. Доступные ширины 120, 180 мм и высота 240 мм. Это перемычки с естественной теплоизоляцией. Длина 140, 160, 200, 230 см. Максимальная ширина закрываемого проема 180 см. Необходимая ширина спинки на стене 20 см для длины до 160 см и 25 см выше.

    См. также: Компьютерное проектирование реберно-плитных перекрытий МЧС

    Рис. 3. Перемычки NS R30 [6]

    В новом варианте перемычек нанесена цветная маркировка необходимой длины спинки, что облегчает сборку на стройплощадке. При укладке перемычек вплотную их следует соединить кладочным раствором. Кроме того, не забудьте заполнить вертикальные и горизонтальные швы. Также можно включить венок в кооперацию, тогда грузоподъемность расклада увеличится на 50%.Доступны BIM-библиотеки для работы с программами Revit или Archicad, а также оверлеи для программ (рис. 5).

    Рис. 5. Скриншот надстройки Solbet для Revit

    Наложение позволяет загружать любые выбранные библиотеки в существующий файл как собственные элементы Revit, что обеспечивает дальнейшую бесперебойную работу с ними. Это хороший инструмент, который значительно упрощает работу дизайнеров с BIM. Непосредственно из библиотек
    или из оверлея у нас есть предварительный просмотр всех свойств продуктов Solbet, таких как вес, огнестойкость или прочность на сжатие или изгиб.Не заглядывая в каталоги, мы получаем всю необходимую информацию прямо из Revit или Archicad. Производитель сильно сосредоточен на дальнейшем развитии своих инструментов в направлении BIM, что является хорошей новостью для проектировщиков. Кроме того, авторы открыты для обратной связи с целью дальнейшего улучшения программы. Это хорошее и мудрое решение, ведь в основном проектировщики должны решить, какой фирмы перемычки появятся в проектируемых зданиях. Для удовлетворения потребностей пользователей версии Revit LT версия самих библиотек также доступна в виде файла Revit, поскольку Revit LT, к сожалению, не может устанавливать наложения.

    Резка этих перемычек на месте не допускается. Если перемычка будет взаимодействовать с венчиком, ее следует проштамповать во время возведения стены и бетонирования венца.

    Перемычки системы Ytong YN, Ytong YF и Ytong U изготовлены из газобетона. В основном они предназначены для стеновых систем Ytong и Silka. Silka не имеет отдельной системы перемычек. Благодаря технологии изготовления они отличаются хорошей теплоизоляцией, в этом месте отсутствует дополнительный мостик холода.Перемычки Ytong YN доступны в следующих размерах: 20, 23, 30 и 36,5 см. Максимальные размеры крытого проема: 90, 110, 125, 150 и 175 см. Требуемая ширина спинки 20 см при ширине проема 125 см и 25 см сверху.

    Другие типы перемычек Ytong YF доступны шириной 11,5 и 17,5 см; допустимые размеры отверстий: 90, 110, 125-250 (каждые 25 см). Эти перемычки требуют соединения с расположенными над ними слоями кладки. Над ними необходим как минимум один слой блоков с заполнением вертикальных швов.Требуемая ширина спинки минимум 20 см до ширины проема 110 см и 25 см сверху. Производитель предоставляет таблицы допустимых погонных нагрузок на перемычки в зависимости от конструкции стены.

    Другой тип перемычки – Ytong U, которая служит несъемной опалубкой для железобетонной балки индивидуальной конструкции. Эта перемычка предназначена для пролетов более 250 см, где других перемычек уже недостаточно.

    Перемычки Ytong нельзя резать на месте.Штамповать рекомендуется для пролетов от 2,5 м. В зависимости от конструкции стены огнестойкость R30-R90. Наложение Revit доступно для стен и перемычек в системах Ytong и Silka. Однако принцип его работы вызывает некоторые оговорки. Все действия дублируются, что делает процесс слишком трудоемким. Чтобы определить стену, вы должны сначала ввести стандартную стену, и только после этого вы можете заменить ее стеной Silka/Ytong из наложения. Вы не можете нарисовать правильную стену с нуля.По мнению автора, решение, предложенное Porotherm или Solbet, более функционально. Кроме того, это наложение позволяет определять перемычки только в стенах Silka/Ytong, а не на любой стене.

    Перемычки

    Leier (рис. 6) представляют собой классические ферменные перемычки L19 и NKLL, а также комбинированные перемычки Leier Strong. Перемычки Leier Strong представляют собой перемычки из сжатого предварительно напряженного бетона размером 115 x 71 мм, предназначенные как часть композитной перемычки, втягивающей в взаимодействие слой стены над перемычкой.

    Рис. 6. Перемычки Leier Strong и NKLL [7]

    Конструкция стены над перемычкой выполняется не менее чем из двух слоев полнотелого кирпича или брусков прочностью не менее 15 МПа. Также можно рассмотреть заливку 15-23 см бетоном. Затем на этом слое следует сделать венок, который втягивается в сотрудничество всей перемычки. В таких случаях очень важен правильный реципрокный анастомоз. Кирпич следует класть на цементный или цементно-известковый раствор прочностью не менее 10 МПа (заполнять горизонтальные и вертикальные швы).Эти перемычки можно использовать в керамических, силикатных и ячеистых бетонных стенах. Перемычки с перемычками Leier Strong изнутри должны быть покрыты слоем штукатурки толщиной не менее 10 мм, а снаружи теплоизоляцией и штукатуркой. Допустимая ширина проемов 90-270 см с шагом 30 см (длина перемычки от 115 до 305 см с шагом 30 см). Производитель указывает допустимую нагрузку на композитную перемычку в зависимости от способа возведения стены.В зависимости от конструкции стены огнестойкость составляет всего R30. Минимальная глубина спинки 125 мм для балок длиной до 1,75 м и высотой 175 мм. Минимальная длина элемента кладки у опоры перемычки требуется 25 см. Шаг штампов 0,8 м и снимать их можно только через 21 день после окончания возведения всей перемычки вместе с венцом. Если перемычка используется как одинарная перемычка (для перегородок), максимальный рекомендуемый пролет проема составляет 1,5 м. Такие перемычки не рекомендуется разрезать на месте.

    Перемычка Leier NKLL представляет собой железобетонную перемычку размером 115 x 120 мм со встроенной арматурой фермы. Важно правильно расположить перемычку (вверху/внизу), потому что арматура не является горизонтально симметричной. Длина перемычки от 0,9 до 3,6 м (модуль через каждые 30 см). Минимальная длина спинки 15 см. Его следует штамповать посередине пролета во время набора высоты. Штампы можно снять через 14 дней после возведения стены и венца. Класс огнестойкости всего R30.Небо балок должно быть оштукатурено гипсом толщиной не менее 15 мм. Изготовитель указывает допустимые нагрузки и предельный расчетный крутящий момент в зависимости от длины перемычки. Эти перемычки можно разрезать на строительной площадке.

    Перемычки – правила выбора

    Тип перемычки часто зависит от используемой стеновой системы, будь то Porotherm, Ytong / Silka или Solbet. Рекомендуется, чтобы перемычка была максимально совместима с используемой стеновой системой, будь то из-за существующих нагрузок или теплового расширения, вздутия и усадки.Дополнительные контрмеры могут быть сочтены необходимыми для устранения возможных трещин в местах соединения материалов. Выбор длины в зависимости от производителя зависит от длины перекрываемого проема и требуемой длины опоры перемычки. Количество перемычек зависит от толщины стены. В случае однослойных стен иногда опускают одну перемычку, чтобы исключить мостик холода. Перемычки в основном выбирают из-за их несущей способности.Предполагалось, что над перемычкой образуется равносторонний треугольник (рис. 7), составляющий зону воздействия на перемычку.

    Рис. 7 Диаграмма нагрузки на перемычку, где: l ef - расчетная длина перемычки [м], l s - длина в свету [м], h - высота равностороннего треугольника [м], A ef - площадь равностороннего треугольник, определяющий зону нагрузки на перемычку [м 2 ]

    С другой стороны, с учетом действующих норм в стандарте [8] указано, что угол наклона составляет 45°.С другой стороны, в британском стандарте [9] упоминается угол 45° для учета нагрузки и 60° для взаимодействия/воздействия на перемычку. Перемычка воспринимает нагрузки в основном от такого треугольника. При наличии дополнительных воздействий в районе треугольника нагрузки, например перекрытия, их также следует учитывать в нагрузке на перемычку. Так что на практике, если нагрузка выше 0,8667·л эф , то ее не следует учитывать в нагрузке на перемычку. Принято, что l эф = 1,05 l s , однако в случае перемычек Поротерм имеется допуск [10], гласящий, что l эф = 1,15 вход 1,15-1,20.Поэтому, по мнению автора, надежнее принять l ef = 1,2 l s .

    Перемычки принято рассматривать как свободнонесущую балку, нагруженную распределенной нагрузкой, определяемой по площади влияния треугольника нагрузки. Однако, по данным современных исследований, работа перемычки различна [11-13]. Показано, что плоские перемычки в основном нагружаются в районе опор, а не в середине пролета, поэтому следует ожидать преимущественно сдвигового разрушения.Траектории напряжений в каменной стене спускаются в сторону более жестких фрагментов. Балочные перемычки являются менее жестким элементом, поэтому воспринимают меньшие нагрузки. По сравнению с арочными перемычками, чем больше стрела арки, тем больше ее жесткость и больше грузоподъемность. Прогрессу в понимании работы перемычки также способствовал иной подход производителей салфеток, вместо указания допустимого изгибающего момента мы имеем информацию о предельной распределенной нагрузке, которая в свете современных исследований представляется быть лучшим подходом.Также следует отметить, что допустимая минимальная опора перемычки на стену выбирается только за счет подрезки перемычки, а не за счет несущей способности материала стены в месте опирания. Расчетную проверку опоры следует учитывать за счет прочности стены, но часто этой несущей способности бывает достаточно и с большим запасом.

    Очень важным и часто упускаемым из виду вопросом является требуемая огнестойкость перемычки. Проблема здесь в том, что перемычка является частью конструкции стены, поэтому требуемая огнестойкость перемычки такая же, как у стены, а не у стенового проема, что является распространенной ошибкой проектировщиков.

    Перемычки – требования противопожарной защиты

    В настоящее время проектировщики часто допускают ошибку при выборе перемычки. Проектировщики ориентируются в основном на несущую способность перемычки, а не на ее требуемую огнестойкость. Документация с пожарным экспертом архитекторы соглашаются, а дизайнеры часто исключаются из информационного потока. Пожарный эксперт в свою очередь, это выливается в обязанность проектировщика сделать перегородки с необходимой несущей способностью при пожаре с конкретным R30, R60 или R120, R240.Для стен, железобетона и стали обеспечение соответствующей несущей способности при пожаре очевидно, однако в практике проектирования пренебрегают перемычками. Кроме того, проектировщики часто принимают огнестойкость за проем, а не за стену, где для перемычки в проеме EI30 потребуется R60. Если дверь соответствует требованиям EI60, то перемычка R120. Интересно, что ни одна из доступных сборных перемычек не имеет R120, максимум, который мы встречаем, это R90. В зданиях общественного назначения минимальный класс, который мы часто встречаем, это EI30, т.е. перемычка должна быть не ниже R60.Анализируя вышеупомянутые перемычки, лишь немногие способны обеспечить требуемый класс огнестойкости. Кроме того, производители указывают класс R90, хотя в технических условиях такого класса не существует (это R60, а потом R120). Проблема в том, как правильно сделать перемычки для классов выше R60. Здесь уже нельзя использовать классические сборные перемычки. Индивидуальный проект железобетонной балки можно рассмотреть по [14]. Проблема возникает при расчете влияния градиента температуры, который мы обязаны учитывать в соответствии с [14].Вы можете сэкономить с помощью программ, которые могут производить расчеты с использованием нелинейного анализа (с учетом снижения жесткости), альтернативно стальных профилей, защищенных вспучивающимися красками (они также до класса R120). Можно подумать о возврате к старым кирпичным арочным перемычкам [11] или плоским клиновым перемычкам [15], которые обладают очень высокой огнестойкостью и которые раньше никто не считал (достаточно было воспользоваться проверенными правилами [2]).

    Библиография

    1. Дж.Ригошек и др., Эволюция естественных скальных сводов: реалистичный маломасштабный эксперимент, «Геология» № 47 (1) / 2018.
    2. Р. Анерт и К.Х. Krause, Typische Bauconstruktionen von 1860 bis 1960, Vol.1.2014, Berlin, Beuth Verlag GmbH, 216.
    3. https://precon.com.pl. 1 августа 2018 г.; Доступно по адресу: https://precon.com.pl.
    4. http://www.konbet.com.pl. 1 августа 2018 г.; Доступно на: http://www.konbet.com.pl.
    5. https://wienerberger.pl. 1 августа 2018 г.; Доступно по адресу: https://wienerberger.пл.
    6. https://www.solbet.pl. 1 августа 2018 г.; Доступно по адресу: https://www.solbet.pl.
    7. http://www.leier.pl. 1 августа 2018 г.; Доступно по адресу: http://www.leier.pl.
    8. PN-EN 845-2 Спецификация дополнительных изделий для каменной кладки. Часть 2: Перемычки, ПКН, Варшава, 2004.
    9. BS 5977-1: 1981 Перемычки. Метод оценки нагрузки, 1981.
    10. Й. Хота, П. Петрашек, К. Шабович, Расчет конструкций традиционно возведенных зданий, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, 2014.
    11. Р. Новак, Анализ несущей способности и механизмов повреждения кирпичных перемычек люков, кандидатская диссертация, Факультет строительства и архитектуры, Западно-Поморский технологический университет в Щецине, Щецин, 2014.
    12. Л. Дробец, Р. Ясински и В. Мазур, Сборные перемычки из ячеистого бетона автоклавного твердения - испытания и теоретические анализы, "Cement Wapno Beton" № 22 (5) / 2017.
    13. Новак Р., Проблема содержания исторических арочных перемычек, 10-я Международная конференция по структурному анализу исторических сооружений, SAHC 2016.
    14. PN-EN 1992-1-2 Проектирование бетонных конструкций. Часть 1-2: Общие правила. Проектирование в условиях пожара, ПКН, Варшава, 2008.
    15. Р. Новак, Р. Орлович, Анализ несущей способности кирпичных клиновых перемычек, "Przegląd Budowlany" № 2/2017.

    доктор инж. Рафал Новак
    Факультет строительства и архитектуры
    Западно-Поморский технологический университет в Щецине

    .

    Многошарнирная балка с углом

    Решенный пример многошарнирной балки, с которой вы можете столкнуться в начале своих технических занятий. Отличный пример для самостоятельного анализа или решения, а затем проверки собственных расчетов. В конструкцию включено множество приложенных внешних сил, множество сечений для расчета и показано распределение сил в угле на его составляющие.

    Описание содержимого проекта.

    В конструкцию включена статическая диаграмма в первой точке и распределение силы под углом на ее составляющие. Второй пункт содержит рассчитанные опорные реакции и проверку их правильности. Третий момент – начать расчет внутренних сил. Есть схема балки, разделенной на диски. В последней точке строятся графики расчетных внутренних сил. Нормальные силы, поперечные силы и изгибающие моменты.

    1. Распределение силы Р1 на две составляющие, горизонтальную и вертикальную,

     \ начало {массива} {l} {P_{1y}}={P_1}*\sin(45)=1,4142кН\ {P_ {1x}} = {P_1} * \ cos (45) = 1,4142 кН \ конец {массив} 

    2.Расчет опорных реакций

    Для расчета опорных реакций балка должна быть разделена в стыке и в этой точке будут генерироваться дополнительные силы сочленения H B и V B .

     \ начало {массива} {l} \ сумма {{M_B} = 0} \\ - {В_А}*4,5+10=0\ 4,5{В_А}=10/:4,5\ {V_A} = 2,222кН\ \\ \\ \ сумма {у = 0} \\ - 2,222 - 1,4142 + {V_B} = 0 \ {V_B} = 3,6364кН\ \\ \\ \ сумма {х = 0} \\ {H_A} + 1,4142 - {H_B} = 0 \ конец {массив} 

    В этом случае уравнение равновесия горизонтальных сил имеет два неизвестных.Следовательно, нам нужно начать расчет с другой стороны балки, и, возможно, это даст нам значение одной из этих двух сил.

    .

    Продольная сила в балке. наклониться

    УДК 539.52

    ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА НА КОНЦЕВУЮ БАЛКУ ПРИ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЕ, АСИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКЕ И МОМЕНТАХ ОПОРЫ

    И.А. Монахов1, Ю.К. Бас2

    строительно-производственный факультет Строительный факультет Московский государственный машиностроительный университет ул. Павел Корчагин, 22 года, Москва, Россия, 129 626

    2 Кафедра конструкций и сооружений Факультет инженерии дружбы народов Университета Российских Наций ул.Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

    В работе представлена ​​методика решения задач о малых прогибах балок из идеального жесткопластического материала под действием несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика используется для исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных балок, а также для расчета предельных нагрузок на балки.

    Ключевые слова: пучок, нелинейность, аналитический.

    В современном строительстве, судостроении, машиностроении, химической промышленности и других отраслях техники наиболее распространенными видами конструкций являются стержневые, в частности балочные.Разумеется, для определения реального поведения стержневых систем (в частности балок) и их прочностных ресурсов необходимо учитывать пластические деформации.

    Расчет конструктивных систем с учетом пластических деформаций по модели идеального жесткопластического тела является, с одной стороны, наиболее простым, а с другой - вполне приемлемым с точки зрения требований проектной практики. Если принять во внимание площадь малых перемещений конструктивных систем, то это следует из того, что грузоподъемность («конечная нагрузка») идеальной жесткопластической и упругопластической систем оказывается одинаковой.

    Дополнительные резервы и более строгая оценка несущей способности конструкции выявляются за счет учета геометрической нелинейности при их деформировании. В настоящее время учет геометрической нелинейности при расчетах конструктивных систем является приоритетным не только с точки зрения развития теории расчетов, но и с точки зрения практики проектирования конструкций. Приемлемость решений задач расчета конструкций в условиях меньшинства 9000 3

    перемещений весьма неопределенны, с другой стороны, практические данные и свойства деформируемых систем позволяют предположить, что большие перемещения реально достижимы.Достаточно указать конструкции строительных, химических, судостроительных и машиностроительных производств. Кроме того, в модели жесткопластического тела пренебрегают упругими деформациями, т.е. пластические деформации много больше упругих. Поскольку перемещения соответствуют деформациям, необходимо учитывать большие перемещения жесткопластических систем.

    Однако геометрически нелинейные деформации конструкции в большинстве случаев неизбежно приводят к пластической деформации.Поэтому особое значение имеет одновременный учет пластических деформаций и геометрической нелинейности при расчетах конструктивных и, конечно же, стержневых систем.

    Эта статья предназначена для небольших прогибов. Аналогичные задачи решались в работах.

    Рассмотрим балку с защемленными опорами, находящуюся под действием ступенчатой ​​нагрузки, краевых моментов и предварительно приложенной продольной силы (рис. 1).

    Рис. 1. Балка под распределенной нагрузкой

    Уравнение равновесия балки при больших прогибах в безразмерном виде имеет вид

    d2 т/, ч d2 по

    - +(n±w)-+p\u003d^-=0, dx ax ax

    х 2ш п12 М Н, г,

    где x ==, w = -, p = -, t = -, n = -, n и m - внутренние нормали

    I до 5хЪк б!!бк 25!!к

    сила и изгибающий момент, p - равномерно распределенная поперечная нагрузка, W - прогиб, x - продольная координата (начиная с левой опоры), 2k - высота сечения, b - ширина сечения, 21 - пролет балки, 5^ - материал с податливостью точка .Если N задано, сила N является следствием p в

    Доступно

    прогиба, 11 = =, черта над буквами указывает размер значения.

    Рассмотрим первую стадию деформации - "малые" прогибы. Пластическое сечение формируется при x = x2, в том числе m = 1 - n2.

    Выражения для коэффициентов прогиба имеют вид - прогиб при х = х2):

    (2-х), (х>х2),

    Задача решается в двух случаях: x2 11.

    Рассмотрим случай x2

    Для зоны 0

    Пх 111 1 П11 к1п/1 м = + к1 п + п / 1 -к1 п / 1 - ± 4- + - ^ 41

    х - (1 - п2) ± а,

    (, 1, п/2к1 п12Л

    Пх2 + Л1 Р + Р11 - Л1 Р11 - + 1^

    Х2 = к1 +11 - к111 - + ^

    С учетом наличия пластического шарнира при х = х2 получаем:

    тх = х = 1 - n2 \ u003d - р

    (12 к12 Лк+/-к1-^+к"А

    к, + /, - к, /, -л +

    (/ 2 к / 2 А к1 + / 1 - к1 / 1 - ^ + М

    Учитывая случай x2>/1 получаем:

    для зоны 0

    к п-п2+кар/1+п/1-к1 п/1^х-(1-П12)±

    и для зоны 11

    ^ р-рС + 1 ^ Л

    х - (1 - п-) ± а +

    (.рг-к1 п1-л

    Кх рх2 + кх р +

    0, затем

    I2 12 1 час. х2 = 1 - + -.

    Равенство следует из условия доходности

    где мы получаем выражение для нагрузки:

    к1 - 12 + М L2

    К1/12 - к2 ¡1

    Таблица 1

    k1 = 0 11 = 0,66

    Таблица 2

    к1 = 0 11 = 1,33

    0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

    0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2 9000 3

    Таблица 3

    k1 = 0,5 11 = 1,61

    0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94 9000 3

    0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45 9000 3

    Таблица 5 k1 = 0,8 11 = 0,94

    0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

    0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

    0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

    0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

    Таблица 3

    к1 = 0,5 11 = 2,0

    0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

    0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

    Таблица 6 к1 = 1 11 = 1,33

    0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 9000 3

    0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 9000 3

    Таблица 7 Таблица 8

    к, = 0,8 /, = 1,65 к, = 0,2 /, = 0,42

    0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66 9000 3

    0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38 9000 3

    0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9 9000 3

    0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

    Задав коэффициент нагрузки k1 от 0 до 1, изгибающий момент a от -1 до 1, продольную силу n1 от 0 до 1, расстояние / 1 от 0 до 2, получим положение пластического шарнира по формулам (3) и (5), а затем получаем значение разрушающей нагрузки по формулам (4) или (6).Численные результаты расчетов представлены в таблицах 1-8.

    ЛИТЕРАТУРА

    Басов Ю.К., Монахов И.А. Аналитическое решение задачи о больших прогибах жесткопластической волнистой балки под действием локальной распределенной нагрузки, опорных моментов и продольной силы // Вестник РУДН. Серия "Инженерные исследования". - 2012 - № 3.- С. 120-125.

    Савченко Л.В., Моначев И.А. Большие прогибы физически нелинейных круглых пластин Бюллетень ИНГЭКОН. Серия "Технические науки".- Версия. 8 (35). - Петербург, 2009. - С. 132-134.

    Галилеев С.М., Салихова Е.А. Исследование собственной частоты элементов конструкций из стекловолокна, углеволокна и графена // Вестник ИНЖЭКОН. Серия "Технические науки". - Версия. 8.- СПб, 2011. - С.102.

    Ерхов М.И., Монахов А.И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопластической балки с шарнирными опорами под действием равномерно распределенной нагрузки и краевых моментов // Вестник факультета строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук.- 1999 г. - Версия. 2.- С. 151-154. .

    МАЛЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ РАНЕЕ ИНТЕНСИВНЫЕ ИДЕАЛЬНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ БАЛКИ С РЕГИОНАЛЬНЫМИ МОМЕНТАМИ

    IA Monachow1, Великобритания Basow2

    "Строительный факультет" Строительно-строительный факультет Московский государственный машиностроительный университет ул. Павла Корчагина, 22, Москва, Россия, 129626

    Кафедра строительных конструкций и объектов Российский инженерный университет дружбы народов ул. Ордзоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

    В статье разработана методика решения задачи для балок малого прогиба из идеально жесткого пластического материала, с различными видами фиксации, за счет отсутствия несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия.Разработанная методика используется для контроля деформированного состояния балок, а также для расчета прогиба балок с учетом геометрической нелинейности.

    Ключевые слова: пучок, аналитический, нелинейность.

    количество изгиб балки есть несколько вариантов:
    1. Расчет максимальной нагрузки, которую может выдержать
    2. Выбор сечения данной балки
    3. Расчет максимально допустимых напряжений (для проверки)
    Учитывать общее правило выбора секция балки на двух опорах, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
    Для начала нужно найти точку (участок), где будет максимальный момент. Это зависит от опоры балки или ее окончания. Ниже приведены диаграммы изгибающих моментов для наиболее распространенных диаграмм.



    После нахождения изгибающего момента необходимо найти модуль Wx этого сечения по формуле, приведенной в таблице:

    Далее, разделив максимальный изгибающий момент на момент сопротивления в при заданном сечении получаем максимальное напряжение в балке и это напряжение нужно сравнить с напряжением, которое вообще может выдержать наша балка из рассматриваемого материала.

    Для пластмасс (сталь, алюминий и т.д.) максимальное растяжение будет равно пределу текучести материала, а для хрупких (чугун) (чугун) - предел прочности при растяжении. Из приведенных ниже таблиц мы можем найти предел текучести и предел прочности при растяжении.


    Рассмотрим несколько примеров:
    ты на него повесишь.Пусть ваша масса будет 90 кг.
    Сначала нам нужно выбрать схему расчета.


    На этой схеме видно, что максимальный момент будет на острие, а так как наш двутавр имеет одинаковую длину по всей длине, то и максимальное натяжение будет на острие. Найдем:

    P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 кН

    M = P * l = 0,9 кН * 2 m = 1,8 кН * м


    По ассортиментной таблице двутавров, находим момент сопротивления двутавра №10.


    Будет 39,7 см3. Переведите в кубические метры и получите 0,0000397 м3.
    Далее по формуле находим максимальные напряжения у нас в балке.

    b = M/W = 1,8 кН/м/0,0000397 м3 = 45 340 кН/м2 = 45,34 МПа


    Найдя максимальное напряжение в балке, мы можем сравнить его с максимально допустимым напряжением, равным пределу текучести из стали Ст3сп5 - 245 МПа.

    45,34 МПа - хорошо, значит этот двутавр выдерживает вес 90 кг.


    2. [i]Поскольку мы получили достаточно большой запас, решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможный вес, который может выдержать тот же 2-х метровый двутавр №10.
    Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которые возникнут в балке, должны быть равны (b = 245 МПа = 245 000 кН*м2).

    На практике очень часто стержень работает вместе при изгибе и растяжении или сжатии.Этот вид деформации может быть вызван либо совместным действием продольных и поперечных сил на балку, либо только продольными силами.

    Первый случай показан на рис. 1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы P.

    Рис. 1.

    Предположим, что отклонениями балки по сравнению с размерами сечения можно пренебречь; то с достаточной для практики точностью можно предположить, что даже после деформации силы Р будут вызывать только осевое сжатие балки.

    Используя метод суммирования сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами P и нагрузкой q.

    Сжимающие напряжения от сил P равномерно распределены по площади поперечного сечения F и одинаковы для всех сечений

    нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в поперечном сечении при измерении x-off, например, от левого конца балки, определяется по формуле

    Таким образом, общее напряжение по координате z (считая от нейтральной оси) для этого сегмента составляет

    На рис. 2 представлены диаграммы распределения напряжений в рассматриваемом сечении от сил P, нагрузки q и суммарная диаграмма.

    Наибольшее напряжение в этом сечении будет в верхних волокнах, где оба вида деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может происходить сжатие или растяжение в зависимости от численных значений напряжения и. Для формулировки условия прочности находим наибольшее нормальное напряжение.

    Рис. 2.

    Поскольку напряжения, вызванные Р-силами, во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, волокна, наиболее нагруженные при изгибе, будут опасными.Это крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них

    Таким образом, напряжения в крайних зернах 1 и 2 среднего сечения балки выражаются формулой

    и расчетное напряжение будет

    Если бы силы P были растягивающими, знак первого члена изменился бы, и нижние волокна балки были бы опасны.

    Обозначив силу сжатия или растяжения буквой Н, мы можем написать общую формулу для испытания на прочность

    Описанный ход расчетов применим и при действии косых сил на балку.Эта сила может быть распределена на изгибаемую балку перпендикулярно оси и продольную, сжимающую или растягивающую балку.

    сжатие изгибающей силы балки

    Вся номенклатура существующих опорных устройств схематически представлена ​​в виде нескольких основных типов опор, из них:

    наиболее распространенные: шарнирная стрела (возможные обозначения показаны на рис. 1, а), шарнирная скоба (рис. 1б) и крепкая прижимная , или стрела (рис.1, в).

    Во вращающейся опоре происходит одна опорная реакция, перпендикулярная плоскости опоры. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует движению в сторону опорной плоскости, но допускает движение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
    В шарнирном кронштейне имеются вертикальные и горизонтальные реакции. При этом движения в направлениях опорных стержней невозможны, но допускается поворот опорной секции.
    Жесткий конец создает вертикальные и горизонтальные реакции, а также опорный (реактивный) момент. В этом случае опорное сечение нельзя смещать и поворачивать.При расчете жесткой посадки можно не учитывать возникающие опорные реакции, выбирая отсечку так, чтобы в нее не попадала наплавка с неизвестными реакциями. При проектировании систем на шарнирных опорах опорные реакции должны определяться безошибочно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от типа системы (балка, рама и т. д.).) и будут приведены в соответствующих главах настоящего руководства.

    2. Построение диаграмм продольных сил Nz

    Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

    Подпишем правило для Нз: условимся считать продольную силу в поперечном сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отрезанной части стержня, вызывает растяжение, и отрицательной - в противном случае.

    Пример 1. Постройте продольные силы для жестко защемленной балки (рис. 2).

    Процедура расчета:

    1. Наметьте характерные участки, пронумеровав их от свободного конца стержня до конца.
    2. Найти продольную силу Nz в каждом характерном сечении. В этом случае мы всегда считаем ту отрезанную часть, которая не содержит жесткой прокладки.

    По найденным значениям конспирация Нз.Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью графика, отрицательные значения — под осью.

    3. Структура диаграмм моментов Мкр.

    Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения относительно продольной оси Z.

    Правило знаков для Мкр : согласен считать крутящий момент положительным в поперечном сечении, если посмотреть на поперечное сечение со стороны рассматриваемой отрезаемой детали, то можно увидеть, что внешний крутящий момент является анти- по часовой стрелке и отрицательное в противном случае.

    Пример 2 Постройте диаграмму крутящего момента для жестко закрепленного стержня (рис. 3а).

    Процедура расчета.

    Обратите внимание, что алгоритм и правила построения диаграммы моментов полностью совпадают с алгоритмом и правилами построения продольных сил .

    1. Наметим характерные участки.
    2. Определить крутящий момент на каждом участке характеристики.

    На основании найденных значений строим диаграмму Mcr (рис.3б).

    4. Правила контроля для схем Nz и Mkr.

    К : график продольной силы и моментов, характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность построенных конструкций.

    1. Графики Nz и Mkr всегда прямолинейны.

    2. В области, где нет распределенной нагрузки, диаграмма Nz (Mcr) представляет собой прямую, параллельную оси, а в области, находящейся под распределенной нагрузкой, - прямую диагональную линию.

    3.Под точкой приложения сосредоточенной силы на диаграмме Nz должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на диаграмме Мкр будет скачок на величину силы этого момента.

    5. Построение диаграмм поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках

    Стержень, который гнется, называется Балка . В сечениях балок, нагруженных вертикальными нагрузками, обычно два коэффициента внутренней силы - Qy и наклона, момента Mx.

    Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

    Подпишем правило для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсутствующей части, стремится повернуть это сечение по часовой стрелке и отрицательной в противном случае.

    Схематично это правило знаков можно представить как

    Изгибающий момент Мх в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения, относительно оси х, проходящей через это сечение.

    Подпишем правило для Мх: согласны считать изгибающий момент в поперечном сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсекаемой части, вызывает напряжения в данном сечении нижних волокон балки, и отрицательное в противном случае.

    Схематически это правило знаков можно представить так:

    Заметим, что при указанном применении правила знаков для Mx график Mx всегда оказывается построенным со стороны сжатых волокон балки.

    6. Консольные балки

    На построении Qy и Mx в консольных балках, т.е. жестко сжатых, нет необходимости (как в рассмотренных ранее примерах) рассчитывать опорные реакции, происходящие в жесткой посадке, а нужно выбрать отсечку чтобы сиденье не упало в него.

    Пример 3 Диаграмма Qy и Mx (рис. 4).

    Процедура расчета .

    1. Наметим характерные участки.

    Продольный излом представляет собой сочетание поперечного излома со сжатием или растяжением балки.

    При расчете на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в сечениях балки рассчитывают с учетом прогибов ее оси.

    Рассмотрим балку с шарнирными концами, нагруженную некоторой поперечной нагрузкой и сжимающей силой 5, действующей вдоль оси балки (рис. 8.13, а). Обозначим отклонение оси луча по оси абсцисс (принимаем положительное направление оси у вниз, поэтому прогибы луча считаем положительными, когда они направлены вниз).Изгибающий момент М, действующий в этом сечении,

    (23.13)

    здесь - изгибающий момент от действия поперечной нагрузки; - дополнительный изгибающий момент от силы

    Полный прогиб y можно рассматривать как состоящий из прогиба только под действием поперечной нагрузки и дополнительного прогиба, равного силовому прогибу.

    Суммарный прогиб y больше суммы прогибов, возникающих в результате раздельного действия поперечной нагрузки и S-силы, потому что, когда на балку действует только S-сила, ее прогибы равны нулю.Таким образом, в случае продольного изгиба принцип независимости действия сил не применяется.

    При действии на балку растягивающей силы S (рис. 8.13, б) изгибающий момент в сечении с отсечкой

    (24.13)

    Растягивающая сила S приводит к уменьшению прогибов балки, т. е. полные прогибы у в этом случае меньше прогибов от действия только боковой нагрузки.

    В практике инженерных расчетов под продольным изгибом обычно понимают случай действия сжимающей силы и поперечной нагрузки.

    В случае жесткой балки, где дополнительные изгибающие моменты малы по сравнению с моментом, прогибы y мало чем отличаются от прогибов. В таких случаях влиянием силы S на значения изгибающих моментов и прогибов балки можно пренебречь и рассчитать для центрального сжатия (или растяжения) при поперечном изгибе, как описано в § 2.9.

    В случае балки с малой жесткостью влияние силы S на значения изгибающих моментов и прогибов балки может быть очень значительным и его нельзя не учитывать при расчетах.В этом случае балку следует рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, т. е. расчет на совместный изгиб и сжатие (или растяжение) с учетом влияния осевой нагрузки (силы S) на изгибную деформацию балки .

    Рассмотрим методику такого расчета на примере шарнирной балки, на концах нагруженной поперечными силами, направленными в одну сторону, и сжимающей силой S (рис. 9.13).

    Заменить в приближенном дифференциальном уравнении упругой линии (1.13) выражение изгибающего момента М по формуле (23.13):

    [знак минус перед правой частью уравнения учтен, так как, вопреки формуле (1.13), здесь нисходящий направление считается положительным для прогибов] или

    Следовательно,

    Для простоты предположим, что дополнительный прогиб изменяется синусоидально по длине балки, т.е. позволяет получить достаточно точные результаты при поперечной нагрузке балки, направленной в одном направлении (например,Сверху вниз). Преобразуем прогиб в формуле (25.13) в выражение

    Это выражение совпадает с формулой Эйлера для критической силы сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами. Поэтому ее отмечают и называют силой Эйлера.

    Следовательно,

    Силу Эйлера следует отличать от критической силы, рассчитанной по формуле Эйлера. Значение можно рассчитать по формуле Эйлера только в том случае, если соответствие элемента больше установленного предела; это значение подставляется в формулу (26.13) независимо от гибкости балки. Формула для критической силы, как правило, содержит минимальный момент инерции сечения стержня, а выражение для силы Эйлера включает момент инерции относительно главных осей инерции сечения, перпендикулярного плоскости стержня. действие поперечной нагрузки.

    Из формулы (26.13) следует, что отношение полных прогибов балки у к прогибам, вызванным действием только поперечной нагрузки, зависит от отношения (величины сжимающей силы 5 к величине сила Эйлера).

    Таким образом, соотношение является критерием жесткости балки при продольном изгибе; если это отношение близко к нулю, то жесткость балки большая, а если близко к единице, то жесткость балки мала, т. е. балка гибкая.

    При прогибе, т. е. при отсутствии силы S, прогибы происходят только за счет действия поперечной нагрузки.

    При приближении значения сжимающей силы S к значению силы Эйлера общий прогиб балки быстро увеличивается и может во много раз превышать прогибы за счет действия только поперечной нагрузки.В предельном случае w прогибы y, вычисляемые по формуле (26.13), становятся равными бесконечности.

    Обратите внимание, что формула (26.13) неприменима для очень больших прогибов балки, так как она основана на приближенном выражении для кривизны. Это выражение применимо только для малых прогибов, а для больших прогибов его следует заменить таким же выражением для кривизны (65 , 7). В этом случае прогибы у в точке не были бы равны бесконечности, а были бы, хотя и очень большими, но конечными.

    Когда к балке приложена растягивающая сила, формула (26.13) принимает форму.

    Эта формула показывает, что полные прогибы меньше, чем прогибы только из-за поперечной нагрузки. При растягивающей силе S, численно равной величине силы Эйлера (т.е. w), прогибы y составляют половину прогибов

    Наибольшее и наименьшее нормальные напряжения в поперечном сечении балки с шарнирно закрепленными концами при продольно-поперечном изгибе и сжимающей силе S равны

    Рассмотрим двустороннюю балку с поперечным сечением I. Балка нагружена в его центре вертикальной силой P и сжатой осевой силой S = 600 (рис.10.13). Площадь поперечного сечения балки момент инерции, момент сопротивления и модуль упругости

    Поперечные связи, соединяющие эту балку с соседними балками конструкции, исключают возможность неустойчивости балки в горизонтальной плоскости (т.е. в плоскость наименьшей жесткости).

    Изгибающий момент и прогиб в середине балки, рассчитанные без учета действия силы S, равны:

    Сила Эйлера определяется из выражения

    Прогиб в середине балки, рассчитывается с учетом действия силы S по формуле (26.13),

    Определить наибольшие нормальные (сжимающие) напряжения в среднем сечении балки по формуле (28.13):

    откуда после преобразования

    Подставляя разные значения P(w) в выражение (29.13), получаем соответствующие значения напряжений. Графически связь между выражением (29.13) характеризуется кривой, изображенной на рис. 11.13.

    Определим допустимую нагрузку P if для материала балки и требуемый запас прочности, а значит, и допустимое напряжение для материала

    Из рис.11.23 следует, что напряжения возникают в балке под нагрузкой, а напряжения - под нагрузкой

    Если принять за допустимую нагрузку нагрузку, то коэффициент запаса по напряжениям будет равен заданному значению. Однако в этом случае балка будет иметь незначительный запас прочности по нагрузке, так как напряжения, равные z, возникнут в ней уже при Gnić

    Следовательно, запас прочности по нагрузке в этом случае будет равен 1,06 (т.к.явно недостаточно.

    Для того чтобы балка имела запас прочности 1,5 по нагрузке, это значение следует принять за допустимое, при этом напряжения в балке будут примерно равны к допустимым напряжениям. Это обеспечивало необходимый запас прочности не только по напряжениям, но и по нагрузкам, так как практически во всех случаях, рассмотренных в предыдущих разделах, напряжения прямо пропорциональны величине нагрузок.

    Для продольных изгибных напряжений, как показано на рис. 11.13 не прямо пропорциональны нагрузке, а изменяются быстрее, чем нагрузка (для сжимающей силы S). Поэтому даже незначительное, случайное увеличение нагрузки сверх расчетной может привести к очень большому увеличению напряжения и разрушению конструкции. Поэтому расчет сжатых гнутых стержней на продольно-поперечный изгиб следует производить не по допускаемым напряжениям, а по допускаемой нагрузке.

    По аналогии с формулой (28.13) составим условие прочности при расчете на продольно-поперечный изгиб по допускаемой нагрузке.

    Отклоненные сжатые элементы, помимо расчета продольного изгиба, также должны быть рассчитаны на устойчивость.


    .

    Обследование двухпролетной железобетонной балки | Epstal

    Исследование влияния пластичности арматуры на поведение двухпролетной железобетонной балки

    Цель и допущения испытаний

    Целью исследования было определение различий в поведении двухпролетная железобетонная балка в зависимости от механических параметров арматурной стали типа А и С (по Еврокоду 2).

    Испытания проводились на двух комплектах испытательных элементов, состоящих из двух балок каждый.Каждый набор балок предполагал использование разного типа арматурной стали. При испытаниях предполагалось, что каждая марка стали именуется: SI и SII соответственно. Типы арматурной стали, использованной для армирования тестовых моделей, представлены в таблице ниже.

    SI

    class C
    (acc. To Eurocode 2)
    hot-rolled steel
    EPSTAL

    SII

    class A
    (acc. To Еврокод 2)
    сталь холоднокатаная

    Симметричная нагрузка каждого пролета балок четырьмя сосредоточенными силами принималась по схеме, приведенной на рис.1. Расположение сосредоточенных сил было выбрано таким образом, чтобы максимально точно отображать равномерно распределенную нагрузку.


    Рис. 1 Графики нагрузки для моделей

    В качестве основного переменного параметра (дифференцирующего модели) принята марка стали продольной и поперечной арматуры. Остальные параметры, т. е. степень продольного и поперечного армирования, прочность бетона и способ реализации нагрузки принимались одинаковыми для всех балок в обоих наборах моделей. Предполагалось, что элементы испытаний изготовлены из рядового бетона на галечном заполнителе с прочностью на сжатие, соответствующей классу примерно В-25.

    Образцы для испытаний

    Наборы элементов для испытаний в зависимости от типа применяемой арматурной стали маркируются символами БИ (сталь СИ) и БII (сталь СИИ). Каждая исследовательская установка состояла из двух монолитных балок (БИ-1, БИ-2 и БИИ-1, БИИ-2) прямоугольного сечения 0,4 х 0,2 м и общей длиной 8,80 м. Балки опирались на три опоры с осевым шагом 4,0 м (две крайние опоры располагались симметрично относительно внутренней опоры, расположенной в центре симметрии каждой балки), таким образом, получалась неразрезная двухпролетная конструкция с двумя 0,4- метровые опоры по бокам от опорной крайней балки.Армирование моделей состояло из прямых продольных арматурных стержней диаметром φ12 мм и хомутов диаметром φ10 мм, изготовленных из стали SI и SII. Растянутые продольные стержни закреплялись на концах (в сжатых зонах поперечного сечения) склеиванием или поперечно приваренными стержнями диаметром φ12 мм. В каждой из моделей использовались одинаковые проценты продольной арматуры, составляющие ρ 1 = 0,46 % в пролетах (3φ12 мм) и ρ 2 = 0,31 % (2φ12 мм) над внутренней опорой. Поперечная арматура состояла из хомутов, перпендикулярных оси балки (из той же стали, что и продольная арматура) диаметром φ10 мм.Продольный шаг хомутов был выбран таким образом, чтобы несущая способность опорных секций не терялась из-за поперечных сил. На крайних опорах шаг был постоянным и составлял s 1 = 0,1 м. На внутренней опоре шаг варьировался от s 1 = 0,1 м до s 1 = 0,217 м. была измерена сталь на растяжение, арматура на сжатие не использовалась. В надопорном сечении (на сечении 80 см) хомуты стабилизировались на время бетонирования проволоками φ5 мм из стали Ст0С, расположенными на нейтральной оси поперечного сечения балки (20 см от горизонтальной кромки поперечное сечение).В середине пролета 80 см не использовалась ни продольная, ни поперечная монтажная арматура. Строительный чертеж арматуры представлен на рис. 2. Защитный слой всех стержней продольной арматуры с ном = 25 мм, поперечной арматуры с ном = 15 мм и был одинаковым во всех лучи.


    Рис. 2 Армирование исследовательских моделей

    Стенд испытательный

    Испытания моделей проводились на специально изготовленном для этого стенде, основными составляющими которого являлись аппаратура кафедры.Вид испытательного стенда показан на рис.3, а подробные эскизы, где опоры не показаны, показаны на рисунках 4 и 5.

    Рис.3 Вид испытательного стенда

    из двух стальных рам, расположенных поперек оси балки с шагом 2,25 м. К транцам обеих рам крепилась горизонтальная стальная траверса длиной 4,20 м из прокатного профиля I550, служившая опорой для двух гидроцилиндров.Гидроцилиндры диапазоном 1000 кН размещены каждый на расстоянии 4 м таким образом, чтобы они находились на оси пролетов исследовательских моделей. Вертикальная нагрузка передавалась на тензодатчики СТ 25 размахом 250 кН, а затем с помощью стальных распределителей нагрузки - траверс в виде 4-х равных сосредоточенных сил на испытуемом элементе. Применялась двухъярусная система траверс - первый и второй ряд в каждом пролете балки.
    Траверсы первого ряда, разделявшие нагрузку от цилиндра на две равные части, были выполнены в виде двух сваренных между собой секций I 220 длиной 2,20 м.Эти элементы нагружались через стальные ролики траверс второго порядка, которые опирались на верхние поверхности балок, в конечном итоге разделяя вертикальную нагрузку на четыре равные сосредоточенные силы в каждом пролете балки. Эти элементы были изготовлены из двух сваренных двутавровых профилей HEB 100 длиной 0,9 м.

    Рис. испытательные модели были перемещены посредством расположения подшипников, расположенных таким образом, что в местах прогнозируемых наибольших вращений находится шарнирный подшипник скольжения.Для обеспечения безопасности при испытаниях и защиты элемента от падения с опор стенда в двух местах каждого пролета использовались временные опоры. Кроме того, все стальные элементы, через которые прикладывалась нагрузка, были шарнирно закреплены на поперечном болте, прикрепленном к поперечным шпангоутам.
    В основу исследовательской модели были положены три опоры - две крайние, обозначенные буквами А и С, и одна внутренняя В (рис. 10 и 11). Опоры А и С расположены симметрично относительно опоры Б на расстоянии 4,0 м.Они состояли из бетонного блока размерами 0,4 х 0,4 х 1,10 м, на который на слой цементного раствора укладывались стальные пластины для поддержки датчиков силы или ректифицирующих винтов. Детали опор показаны на рис.6-8.

    Стойка

    Концевая опора A шарнирная и скользящая. Возможность вращения обеспечивалась шаровыми шарнирами, которыми были оснащены два электрофузионных измерителя силы СТ 10 с диапазоном 100 кН. Силомеры размещены на стальной пластине, опирающейся на два стальных ролика, обеспечивающих свободное перемещение балки.Датчики силы позволяли непрерывно измерять реакцию.

    Рис. 6 Схема и вид опоры А

    Внутренняя опора Б была сконструирована несколько иначе, чем крайняя опора А. Система из двух силомеров СТ 25 с диапазоном 250 кН обеспечивала вращение, в то время как стальные опорные пластины препятствовали горизонтальному перемещению балки на опоре.

    Рис. 7 Схема и вид опоры Б

    Крайняя опора С шарнирно-раздвижная снабжена двумя выпрямляющими винтами с шарнирными головками.Эти болты опираются на стальные пластины, опирающиеся на стальные ролики. На этой опоре была отрегулирована тестовая модель после ее установки на испытательный стенд.

    Рис. 8 Схема и вид опоры С

    Метод нагружения и измерения усилий

    Перед началом основной части испытаний испытуемые модели были взвешены с помощью стержневого динамометра, шарнирно закрепленного между специальной стропой и крюк крана, определяющий собственный вес каждой балки «Г».Схематическая схема измерения веса балки представлена ​​на рис. 9. Далее были взвешены стальные элементы станций «G L » и «G P », которые опирались на исследовательские модели во время испытаний.

    Рис. 9 Измерение собственного веса балки

    Далее тестовые модели были размещены на опорах и выпрямлены в опоре «С» так, чтобы получить значения реакции, близкие к определенным теоретическим путем. Статическая схема тестовых моделей с постоянными нагрузками представлена ​​на рис.10, а значения постоянных нагрузок и начальных реакций, измеренных до представления основных испытаний (собственный вес + стальные элементы), представлены в таблице 1.

    Рис. . Permanent loads and initial model loads test

    90 170 inch 90 170 test 90 170 inch 90 170 test 90 170 inch
    Name
    of the element
    G
    [kN]
    G L
    [kN]
    G P
    [kN]
    R A
    [kN]
    R B
    [kN]
    test
    BI-1 17.64 17.72 0.53 0.52 4.636 4.595 12.622 12.394
    BI-2 17.64 17.64 4.622 4.378 12.577 12.563
    BII-1 17.64 17.56 4.604 4.572 12.532 12.555
    BII-2 17, 64 17.64 4,622 4,548 12,577 12,667

    В основной части исследования модели тестировались в соответствии со схемой, представленной на рис.11

    Рис. 11 Циклы нагружения моделей

    Программа испытаний всех моделей включала 3 цикла нагружения и разгрузки. В первых двух циклах была реализована нагрузка около 5% от ожидаемой разрывной нагрузки около 8 кН, таким образом контролируя показания измерительной аппаратуры и устанавливая подвижные элементы станции в исходные положения. В третьем - разрушающем цикле модели нагружались каждый раз монотонно до момента регистрации увеличения усилия на динамометрах с одновременным увеличением прогиба пролетов балок.
    Нагрузку увеличивали ступенями по 4 кН (на каждом динамометре), регистрируя прогибы осевой линии балок, напряжения в продольной арматуре и реакции опор через автоматическую измерительную станцию ​​(АСИ). Кроме того, с момента образования первых видимых царапин ширину их раскрытия измеряли с помощью лупы Бринелля с точностью до 0,05 мм.

    Измерение прогибов

    Прогибы осевой линии балок при последовательных уровнях усилия нагрузки измерялись 26 датчиками (по 13 датчиков с каждой стороны модели) индуктивного типа PJX 100 и PJX 50 с точностью считывания 0,002 мм и диапазон индикации ± 50 и ± 25 мм.Датчики с меньшим диапазоном (№1,2,13,14,25,26) приклеивались к осям опор в нижних зонах балок. С другой стороны, датчики измерения прогиба располагались в местах приложения сосредоточенных усилий, в осях пролетов и в геометрических осях опор, и приклеивались на расстоянии 20 см от краев горизонтальных балок. . Измерительной базой для датчиков служила стальная конструкция, опирающаяся на недеформируемые опоры станции. Положение датчиков показано на рис. 16 и было одинаковым во всех моделях.Кроме того, в ходе исследований были выполнены геодезические замеры перемещений опор и центров пролетов.

    Рис. 12 Вид прикрепленных датчиков для измерения вертикальных перемещений

    Прогибов

    Результатом отклонения средней линии балок является среднее значение показаний датчиков, расположенных слева и справа от балки и результаты геодезических измерений, проведенных во время испытаний. Результаты прогибов при нескольких выбранных - конечных значениях нагрузки моделей БИ-1, БИИ-1 - представлены на диаграммах ниже - рис.13.14. Начальный прогиб из-за постоянных нагрузок на диаграммах не показан.

    Рис. 13. Деформации балки БИ-1 (сталь типа СИ)

    Рис. опорная арматура была аналогичной и составляла около 15 мм. При увеличении нагрузки на пролет балки серии БII разрушались - и максимальный прогиб пролетов составил около 20 мм. В балках серии БИ при пластификации опорной, а затем и пролетной арматуры наблюдался значительный рост прогибов при неизменном значении сил нагружения.В момент разрушения прогиб центра пролета составлял 42 ÷ 55 мм.

    Отказ

    В зависимости от используемой арматурной стали наблюдались существенные различия в методе потери несущей способности отдельных испытуемых элементов. В случае балок БИ-1 и БИ-2 (сталь СИ) наблюдалось образование трех шарниров сначала над внутренней опорой, а затем в пролетах. Процесс разрушения протекал щадяще, наблюдались значительные увеличения прогиба пролетов балок при постоянной нагрузке.

    В случае балок БИИ-1 и БИИ-2 над внутренней опорой не было пластикового шарнира, но имело место (с шумом) бурное разрушение модели. На рис. 15 показано изображение царапин балок БИИ-1 и БИИ-2 в надопорных сечениях.

    Рис.15 Изображение разрушения балок БИИ-1 и БИИ-2

    Вид всех балок после разрушения представлен на фотографиях рис.16, 17.

    Рис. 16 Вид на поврежденную балку БИ-1

    Рис.17 Вид на разрушенную балку БИИ-2

    Ниже видео, показывающее все исследование

    .

    Смотрите также

    Корзина
    товаров: 0 на сумму 0.00 руб.

    Стеллажи Тележки Шкафы Сейфы Разное

    Просмотр галереи

     

    Новости

    Сделаем красиво и недорого

    На протяжении нескольких лет работы в области складского хозяйства нашими специалистами было оснащено немало складов...

    08.11.2018

    Далее

     

    С Новым годом!

    Коллектив нашей компании поздравляет всех с Наступающим Новым 2012 годом!

    02.12.2018

    Далее

     

    Работа с клиентом

    Одним из приоритетов компании является сервис обслуживания клиентов. На примере мы расскажем...

    01.11.2018

    Далее

     

    Все новости
     
    

     

    © 2007-2019. Все права защищены
    При использовании материалов, ссылка обязательна.
    стеллажи от СТ-Интерьер (г.Москва) – изготовление металлических стеллажей.
    Электронная почта: [email protected]
    Карта сайта